Bestimme eine geeignete ganzrationale Funktion vierten Grades

Question

Aufgabe:

Bestimme eine geeignete ganzrationale Funktion vierten Grades

Problem/Ansatz:

Die untere Profillinie der abgebildeten Doppelrutsche soll durch den Graphen einer Funktion beschrieben werden.

Ich hätte jetzt als erstes die Funktion aufgeschrieben ich denke die wäre

f(x)= ax^4+bx^2+ c

So sieht die Rutsche aus meinem Mathebuch aus

Answer 1

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und zur Selbstkontrolle

Ansatz

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f(x) = ax^4 + 0x^3 + cx^2 + 0x + e
f(x) = ax^4 + cx^2 + e → Dies ist genau dein Ansatz nur mit anderen Buchstaben.

Eigenschaften

f'(0)=0 --> d = 0
f'''(0)=0 → 6b = 0 --> Diese beiden Bedingungen braucht man auf der Seite für die Achsensymmetrie.

f(0)=1 --> e = 1
f(2)=0 --> 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
f'(2)=0 --> 32a + 12b + 4c + d = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte

f(x) = 0,0625·x^4 - 0,5·x^2 + 1

Skizze

~plot~ (0,0625x^4-0,5x^2+1)*(x>-2)*(x<2);[[-2|2|-1|2]] ~plot~

Answer 2

Da du die Nullstellen kennst, wähle die Linearfaktordarstellung:$$f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2$$ Dann ist nur noch \(a\) über \(f(0)=1\) zu bestimmen. Dann folgt \(a=\frac{1}{16}\)

Comments

Wir sollen das mit dem Gauß Algorithmus machen geht das mit der Linearfaktordarstellung ?

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Es wäre arbeitsaufwendiger, die Bedingungen in ein Gleichungssystem zu überführen. Das ist die eleganteste und schnellste Methode.

Answer 3

Da die Rutsche achsensymmetrisch zur y-Achse
ist gilt

f(x)= ax^4+bx^2+ c

f ( 0 ) = 1  => c = 1

f(x)= ax^4 +bx^2 + 1
f ´( x ) = 4a*x^3 + 2b*x

f ( 2 )  = 0
f ´( 2 ) = 0

Einsetzen
f ( 2 ) = a* 2^4 + b*2^2 + 1 = 0
f ´( 2 ) = 4a * 2^3 + 2b *2 = 0

16a + 4b + 1 = 0
32a + 4b = 0  | abziehen
----------------
-16a + 1 = 0
16a = 1
a = 1/16

32a + 4b = 0
32 * 1/16 + 4b = 0
4b = -2
b = -1/2

Answer 4

T_1 \(-2|0)\)    T_2 \((2|0)\)  sind jeweils doppelte Nullstellen, weil die Doppelrutsche waagerecht endet:

\(f(x)=a(x+2)^2(x-2)^2\)

H\((0|1)\):

\(f(0)=a(0+2)^2(0-2)^2=16a=1\)

\(a= \frac{1}{16} \)

\(f(x)=\frac{1}{16} (x+2)^2(x-2)^2\)