Funktion vierten Grades symmetrisch zur y-Achse bestimmen?

Question

Hallo ihr lieben ich bräuchte bitte eure Hilfe :)

Und zwar lautet die Aufgabe: bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, diese bei 2 schneidet und in m (2|4) ein Maximum hat.

Bitte helft mir ich komme da gar nicht zurecht:(

Danke:)

Comments

Ansatz: \(f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+2.\) Berechne \(a\) und \(b\) aus
\(4=f(2)=16\cdot a+4\cdot b+2\), und \(0=f'(2)=32\cdot a+4\cdot b.\)

Answer 1

Und zwar lautet die Aufgabe: bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, diese bei 2 schneidet und in m (2|4) ein Maximum hat. 

ax^4+bx^2+c =f(x) stimmt weil es achsensymmetrishc zu y ist.

und Punkt (0/2) muss auf der Funktion sein:

c=2 --->  ax^4+bx^2+2

Maximum in (2/4) also muss Punkt 2/4 ein punkt auf dem Graphen sein:

a*16+b*4+2=4

und: 

f'(2)=0 denn die Steigung bei einem Maximum ist 0:

2ax^3+2bx mit x=2: 16a+4b=0

Jetzt mit den zwei unterstrichenen Gleichungen noch a und b herausfinden.

Answer 2

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, diese bei \(\green{2}\) schneidet und in M (2|4) ein Maximum hat.

In M\( (2|\red{4})\) ein Maximum bedeutet ein weiteres Maximum in L\((-2|\red{4})\)

Ich verschiebe um \(\red{4}\) Einheiten nach unten :

M´\( (2|0)\)  und  L´\((-2|0)\) Da ist nun jeweils eine doppelte Nullstelle.

Deshalb wähle ich die Linearfaktorendarstellung der Parabel 4. Ordnung:

\(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2\)

P\((0|\green{2})\) schneidet verschoben nach  P´\(0|-2)\):

\(f(0)=a(0-2)^2(0+2)^2=16a=-2\)

\(a=-\frac{1}{8}\)

\(f(x)=-\frac{1}{8}(x-2)^2(x+2)^2\)

nach oben :

\(p(x)=-\frac{1}{8}(x-2)^2(x+2)^2+4\)