Bestimmen Sie die Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und folgende....

Question

Ich komme da nicht weiter...

Der Graph einer Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse, hat in H (2|-2) einen Hochpunkt und in T(0|-3) einen Tiefpunkt.

Was mir bewusst ist:

Allgemeine Form: f(x)=ax⁴ + bx³ + cx² + e

Die Hoch- und Tiefpunkte verraten mir ja auf jeden Fall etwas über die Nullstellen der ersten Ableitung allerdings komme ich da einfach nicht mehr weiter...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
LG

Answer 1

Symmetrisch zur y-Achse reduziert deinen Ansatz schon mal gewaltig.

Statt

f(x)=ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Hast du nur

f(x)=ax⁴  + cx² + e

D.h. nur 3 Unbekannte. Ausserdem kannst du bereits sagen, dass e = -3 . Findest du heraus warum?

Also Ansatz mit 2 Unbekannten

f(x)=ax⁴  + cx²  - 3 

Nun kannst du mit dem Rest der Angaben Bedingungen für a und c aufstellen. 

f'(x) = 4ax^3 + 2cx 

H (2|-2)

f(2) = a*2^4 + c*2^2 - 3 = - 2        . Punkt auf dem Graphen! 

f ' (2) = 4a*2^3 + 2c * 2 = 0  . Punkt ist Hochpunkt! 

-------------------------

(I)  a*16 + c*4 - 3 = - 2    

(II)  a*32 + c * 4 = 0     

---------------------------------- (II) - (I) 

16a + 3 = 2 

16a = -1

a = -1/16

In (II) einsetzen:

-1/16 * 32 + 4c = 0 

-2 + 4c = 0

4c = 2 

c = 1/2 

Also (ohne Gewähr)

y = -1/16 x^4 + 1/2 x^2 - 3 

Kontrolle mit Plotter:

~plot~ -1/16 x^4 + 1/2 x^2 - 3 ~plot~ 

Comments

Achsoo...

stimmt jetzt wo du es so sagst verstehe ich es auch.. sehr gut vielen dank!!

Answer 2

Hallo IH,

wegen der Symmetrie zur y-Achse hat die Funktionsgleichung die Form

f(x) = ax^4 + bx^2 + c    mit  f '(x) = 4a·x^3 + 2b·x

T(0|-3):        

f(0) = -3                      ⇔  c = - 3           

   Die Tiefpunkteigenschaft  ergibt sich bereits aus der Symmetrie, bringt also nichts Neues.

H (2|-2):

f(2) = -2  →              16·a + 4·b - 3 = - 2  ⇔₊₃   16·a + 4·b  = 1 

f '(2) = 0 →  32·a + 4·b = 0   ⇔_:4  8a + b = 0  →  b = - 8a

         b  einsetzen:    16a - 32a  = 1  ⇔  -16a = 1  ⇔  a = -1/16

 a = -1/16  und b = 1/2

f(x)  =  - 1/16·x^4 + 1/2·x^2 - 3

Gruß Wolfgang

Answer 3

Der Graph einer Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse, hat in H\( (2|-2)\) einen Hochpunkt und in T\((0|-3) \)einen Tiefpunkt.

H\( (2|-2)\) ↑H´\( (2|0)\) doppelte Nullstelle

Wegen der Symmetrie gilt auch H\( (-2|-2)\) ↑H´\( (-2|0)\) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2\)

T\((0|-3) \) ↑ T´\((0|-1) \)

\(f(0)=a(-2)^2(0+2)^2=16a=-1\)

\(a=-\frac{1}{16}\)

\(f(x)=-\frac{1}{16}(x-2)^2(x+2)^2\)

↓  \(p(x)=-\frac{1}{16}(x-2)^2(x+2)^2-2\)