Funktion vierten Grades symmetrisch zur y-Achse bestimmen?

Question

Hallo ihr lieben ich bräuchte bitte eure Hilfe :)

Und zwar lautet die Aufgabe: bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, diese bei 2 schneidet und in m (2|4) ein Maximum hat. 

Bitte helft mir ich komme da gar nicht zurecht:( 

Danke:)

Comments

Ansatz: $f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+2.$ Berechne $a$ und $b$ aus
$4=f(2)=16\cdot a+4\cdot b+2$, und $0=f'(2)=32\cdot a+4\cdot b.$

Answer 1

Und zwar lautet die Aufgabe: bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, diese bei 2 schneidet und in m (2|4) ein Maximum hat. 

ax⁴+bx²+c =f(x) stimmt weil es achsensymmetrishc zu y ist.

und Punkt (0/2) muss auf der Funktion sein:

c=2 --->  ax⁴+bx²+2

Maximum in (2/4) also muss Punkt 2/4 ein punkt auf dem Graphen sein:

a*16+b*4+2=4

und: 

f'(2)=0 denn die Steigung bei einem Maximum ist 0:

2ax³+2bx mit x=2: 16a+4b=0

Jetzt mit den zwei unterstrichenen Gleichungen noch a und b herausfinden.

Answer 2

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, diese bei $\green{2}$ schneidet und in M (2|4) ein Maximum hat.

In M$(2|\red{4})$ ein Maximum bedeutet ein weiteres Maximum in L$(-2|\red{4})$

Ich verschiebe um $\red{4}$ Einheiten nach unten :

M´$(2|0)$  und  L´$(-2|0)$ Da ist nun jeweils eine doppelte Nullstelle.

Deshalb wähle ich die Linearfaktorendarstellung der Parabel 4. Ordnung:

$f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2$

P$(0|\green{2})$ schneidet verschoben nach  P´$0|-2)$:

$f(0)=a(0-2)^2(0+2)^2=16a=-2$

$a=-\frac{1}{8}$

$f(x)=-\frac{1}{8}(x-2)^2(x+2)^2$

nach oben :

$p(x)=-\frac{1}{8}(x-2)^2(x+2)^2+4$