Probiere Teiler von 45. Das sind im einzelnen 1, 3, 5, 9, 15, 45. Und zwar sowohl positiv als auch negativ.
Du stellst fest, dass x = -5 und x = 3 Nullstellen sind.
Häufig deckt eine Wertetabelle mit dem TR im Bereich von -10 bis 10 schon sehr viele Nullstellen ab. Daher beginne ich meist mit einer kleinen Wertetabelle.
(x^5 - 2·x^4 - 21·x^3 + 67·x^2 - 24·x - 45) / (x + 5) = x^4 - 7·x^3 + 14·x^2 - 3·x - 9
(x^4 - 7·x^3 + 14·x^2 - 3·x - 9) / (x - 3) = x^3 - 4·x^2 + 2·x + 3
Probiere jetzt nochmals, ob 3 eine Nullstelle ist. Da 3 eine weitere Nullstelle ist hat man eine Doppelte Nullstelle bei x = 3 und wir machen noch eine Polynomdivision
(x^3 - 4·x^2 + 2·x + 3) / (x - 3) = x^2 - x - 1
Vom jetztigen Restpolynom bestimmen wir die Nullstellen über die pq-Formel
x^2 - x - 1 = 0 --> x = 1/2 ± √5/2
Damit können wir jetzt p(x) in Linearfaktorzerlegung schreiben
p(x) = (x + 5)·(x - 3)^2·(x + √5/2 - 1/2)·(x - √5/2 - 1/2)
Ist das so klar?
