Polynomdivision mit Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen.

Question

f(x)= x³- 9x² +24x-16

f(x)=x⁴-13x²+36

a) Symmetrie betrachten ?

b)nullstellen berechnen 

c) welche ursprungsgerade schneidet f bei x=3

d) schreibe als produkt 

e) und zeichnen

 

Comments

e)und zeichnen

Answer 1

Bei ungeraden und geraden parameter im Polynom versucht man es am besten mit der  niedrigsten geraden oder niedrigsten ungeraden Zahl als  Divident.

 bei der ersten Gleichung , mein Vorschlag (x-1)

(x³-9x²+24x-16) :(x-1)=x²-8x+16          x²-8x+16=(x-4)²     Binomische Form

- x³+x²

    - 8x²

      8x²-8x

             16x-16

           -16x+16

                       0

d)also ist  x³-9x²+24x-16=(x-1)*(x-4)²

a) punktsymmetrisch, da x³, >Exponet ist ungerade

b) Nullstellen lassen sich nun aus dem Polynom herauslesen

     x₁= 1   , x_2,3=4

 Natürlich kann man die Nullstellen auch zuerst berechnen

   in dem man die Gleichung einfach 0 setzt.

c) für x =3 einsetzen, dann ist y=2     f(x)=ax+b     b=0 da Ursprungsgerade

    die gesuchte Gerade die durch den Punkt geht ist dann g(x)=2/3 x

     p(3|2)

Bei der nächsen Aufgabe kann  man die Nullstellen  berechnen  in dem  man x²=z setzt

a)  0=z²-13z+36      pq-Formel anwenden

 b) da die Exponenten gerade sind  müsste sie Achssymmetrisch sein.

 c) x=3  dann ist y=0 die gesucht Gerade g(x) ist die x-Achse

 d) hier könnte man sie Nullstgellen nehme um die Gleichung als Produkt  darzustellen

      oder  man teilt die Gleichung durch ( x²-4)  und erhält  (x³-9)

      (3. binomische Form)

     f(x)= (x+3)(x+2)(x-2)(x-3)

       Nullstellen bei (-3 |0),(+3|0),(-2|0),(+2 |0)

 

 

 

   

 

  

 

Answer 2

Es fehlen wohl nur noch die Zeichungen, da Akelei von Aufgabe e) noch nichts gewusst hat. Wähle auf dem Papier die x-Skala anders als die y-Skala, damit man die Nullstellen gut sieht und die Kurve in den Extremwerten rundlich und nicht spitz aussehen.

 

Answer 3

\(f(x)= x^3- 9x^2 +24x-16\)

Nullstellenberechnung:

\(f´(x)= 3x^2- 18x +24\)

\( 3x^2- 18x +24=0\)  → \( x^2- 6x +8=0\)   → \( x^2- 6x=-8\)    → \( (x-3)^2=-8+9=1\)

1.)\( x-3=1\) → \( x_1=4\)  \(f(4)= 4^3- 9*4^2 +24*4-16=0\)

Art des Extremwertes:

\(f´´(x)= 6x- 18\)    \(f´´(4)= 6*4- 18>0  Minimum\)

2.)\( x-3=-1\) → \( x_2=2\)    \(f(2)= 2^3- 9*2^2 +24*2-16=4\) ist keine Nullstelle.

Bei \( x_1=4\) liegt somit eine doppelte Nullstelle.

A) Die 3.Nullstelle findet man mit der Polynomdivision:

\((x^3- 9x^2 +24x-16):(x-4)^2=(x^3- 9x^2 +24x-16):(x^2-8x+16)=x-1\)    

Die 3.Nullstelle ist bei \(x=1\)

B) oder so:

\(x^3- 9x^2 +24x-16=(x-4)^2*(x-N)=(x^2-8x+16)*(x-N)\\=x^3-8x^2-Nx^2+16x+8Nx-16N\\=x^3-x^2*(8+N)+x*(16+8N)-16N\)

Koeffizientenvergleich:

1.)\(8+N=9\) →\(N=1\)

2.)\(16+8N=24\) →\(N=1\)