Zwei unbekannte Variablen: -8 *c1(x)* e^{2x} - 2 *c2(x)* e^{-4x} = 6e^2x und c1(x)* e^2x + c2(x)* e^{-4x} =0

Question

Wie bekomm ich die beiden konstanten c1 und c2 jetzt am besten raus?

-8 *c1(x)* e^2x  - 2 *c2(x)* e^-4x  = 6e^2x

          c1(x)* e^2x  +     c2(x)* e^-4x  = 0

Answer 1

c·e^{2·x} + d·e^{- 4·x} = 0

d = - c·e^{6·x}

Das in die andere Gleichung einsetzen und nach c auflösen

- 8·c·e^{2·x} - 2·d·e^{- 4·x} = 6·e^{2·x}

- 8·c·e^{2·x} - 2·(- c·e^{6·x})·e^{- 4·x} = 6·e^{2·x}

- 6·c·e^{2·x} = 6·e^{2·x}

c = -1

Jetzt noch das d bestimmen

d = - (-1)·e^{6·x} = e^{6·x}

Answer 2

(1) -8 *c1(x)* e^2x  - 2 *c2(x)* e^-4x  = 6e^2x

 (2)        c1(x)* e^2x  +     c2(x)* e^-4x  = 0

Aus Gleichung (2) folgt

 c1(x)* e^2x  =    - c2(x)* e^-4x    |:  e^2x  

c1(x) =    - c2(x)* e^-6x        in (1) ergibt

-> -8*(- c2(x)* e^-6x )  * e^2x  - 2*c2(x)* e^-4x  = 6e^2x

-> 8* c2(x)* e^-4x  - 2*c2(x)* e^-4x  = 6e^2x   | :  e^-4x

-> 8* c2(x)  - 2*c2(x)  = 6e^6x                             | :2

-> 4* c2(x)  - *c2(x)  = 3e^6x   

-> 3* c2(x)  = 3e^6x  

-> c2(x) = e^6x       

Mit c1(x) =    - c2(x)* e^-6x     folgt c1(x) =    - e^6x  * e^-6x = -1

Probe:

(1) (-8) * (-1)* e^2x  - 2 *e^6x*e^-4x  = 8*e^2x  - 2*e^2x = 6*e^2x  -> ok

(2)  (-1)* e^2x  +     *e^6x*e^-4x = -e^2x  +    e^2x = 0 -> ok