Ich bereite mich auf eine Biostatistikklausur vor und habe folgende Übungsaufgabe vorliegen:
Sie benötigen für eine Notfall-Transfusion ungekreuztes Blut der Blutgruppe 0 Rh negativ. Die Wahrscheinlichkeit, Blutgruppe 0 Rh negativ zu haben, beträgt ungefähr 0.05.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 12 zur Auswahl stehenden, mit der Empfängerin nicht verwandten Spendern wenigstens 2 Spender mit den gewünschten Eigenschaften zu finden?
Da es sich um eine Frage von Erfolg und Misserfolg handelt, kann ich die Formel für die Binomialverteilung verwenden:
$$P=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$
in diesem Fall sind es n=12 Teilnehmer, k sollte mindestens 2 sein und p(0-) ist mit 0.05 gegeben.
So blauäugig, wie ich daran gegangen bin, habe ich also gerechnet:
$$P=\begin{pmatrix}12\\2\end{pmatrix}\cdot 0.05^2\cdot 0.95^{10}\approx 0.9879$$, also müsste die Wahrscheinlichkeit, 2 Treffer zu landen, 98,79% betragen. Da dachte ich mir: das kann ja gar nicht angehen.
Die Musterlösung sagt mir:
* Es gibt einen Weg, keine Spenderin zu finden: 0.9512
* 12 Wege, eine Spenderin zu finden: 0.9511·0.05·12
Also müssen wir die Wahrscheinlichkeiten "ab 2 rückwärts" aufsummieren
$$P(Y\ge 2)=1-P(Y\le2)=1-\sum\limits_{i=0}^1\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i}=11.84\%$$
Das leuchtet mir ein, allerdings finde ich meinen Ansatz nicht so verkehrt unter der Annahme, dass wir ja aus n=12 Personen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0.05 zwei Treffer landen wollen. Hätte mir niemand die Musterlösung gezeigt, dann wäre mir zwar aufgefallen, dass mein Ergebnis nicht stimmen kann, ich habe aber nicht ganz verstanden, warum das so nicht geht. Und was genau habe ich denn berechnet? Also.... wofür beträgt denn die Wahrscheinlichkeit 98.79%?
Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine :)
