Alle Werte der linearen Gleichungen bestimmen: 2x+λy=4 , y+5z=6 , λx+3y+5z=10

Question

wie kann Man alle Werte λ für die lineare Gleichung bestimmen

2x+λy=4 , y+5z=6 , λx+3y+5z=10

Answer 1

1.) 2x+λy=4
λy=4 - 2x
λ = ( 4 - 2x ) / y
Der Wert von λ ist abhängig von x und y

2.) y+5z=6
kein λ vorhanden

3.) wie 1.)

Comments

@georgborn: Es steht zwar nicht da, sondern etwas völlig anderes, aber ich vermute dennoch, Gast bd422 soll die Lösungen des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von λ bestimmen.

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Der Gedanke war mir alternativ auch schon gekommen.

2 x + λ * y = 4
λx + 3y + 5z = 10

y + 5z = 6
5z = 6 - y
in 2.) eingesetzt
λx + 3y + ( 6 - y ) = 10
λx + 2y = 4
mit 1.) verknüpft
λx + 2y = 2 x + λ * y
λx - λ * y = 2 x - 2 y
λ ( x  - y ) = 2 x - 2 y
λ = ( 2 x - 2 y ) / ( x - y )
λ = 2 * ( x - y ) / ( x - y )
λ = 2
Probe
2 x + 2* y = 4
2x + 3y + 5z = 10
y + 5z = 6
5z ersetzen ( wie oben )
2x + 3y + 6 - y = 4
2x + 2y = 4
stimmt mit 1.) überein

Da haben wir aber Glück gehabt.
Oder die Frage war bewußt so ausgedacht ?

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Danke für deine Antwort,aber hh183 geagt hat soll die Lösungen des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von λ bestimmen.Also Ich habe es nun erstmal in eine erweiterte Koeffizientenmatrix übertragen ,aber ich weiß noch nicht wie kann man wie man in eine Stufenform bringen kann?2  λ  0  Ι 40  1  5  Ι 6λ  3  5  Ι 10

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Mit dieser Lösungsmöglichkeit bin ich leider überfragt.

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ok kein Problem

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@georg

stimmt mit 1.) überein
Da haben wir aber Glück gehabt.

Dein Glück besteht eher darin, dass ich deinen Beitrag gelesen habe und dich auf einen Fehler aufmerksam machen kann : 
Aus  λ ( x  - y ) = 2 x - 2 y  folgt überhaupt nicht notwendigerweise, dass  λ = ( 2 x - 2 y ) / ( x - y ) sein muss. Es könnte nämlich auch  x = y  sein. Bedenke für die Zukunft : Durch 0 darf man nicht teilen.

@bd422

Beginne damit, das  (- λ/2)-fache der ersten Gleichung zur dritten zu addieren. Addiere dann das (- 1)fache der zweiten zur dritten. Beachte beim Auflösen nach y den Hinweis, den ich Georg gegeben habe. Du musst drei Fälle unterscheiden  : λ = 2 ,   λ = -2 ,   λ² ≠ 4

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@hj213
Auf Fehler kann man mich jederzeit aufmerksam machen.

" Aus  λ ( x  - y ) = 2 x - 2 y  folgt überhaupt nicht notwendigerweise,
dass  λ = ( 2 x - 2 y ) / ( x - y ) sein muss. "
Es sei denn man definiert zuvor x ≠ y

Also ist die korrigierte Antwort
λ = 2  für  x ≠ y

" Bedenke für die Zukunft : Durch 0 darf man nicht teilen."
Dies ist mir bereits geläufig

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Nein.
λ ist als gegeben anzusehen, x und y sind zu berechnen. Nicht umgekehrt. An x und y kannst du nichts herumdefinieren.

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Es hieß doch in der Fragestellung
wie kann Man alle Werte λ für die lineare Gleichung bestimmen
Oder ?

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Aufgrund der völlig schwammigen Fragestellung bin ich wohl
2 mal Fehlwege gegangen. Die 3.Lösung zu berechnen
liegt wohl im Bereich meiner Möglichkeiten. Dazu habe ich
jetzt allerdings keine Lust mehr.

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Das musst du lesen als  "Wie kann man alle λ-Werte bestimmen, für die das lineare Gleichungssystem lösbar ist", oder besser : " Bestimme die Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von λ" oder noch besser : "Gib die Lösungen des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von λ an" oder auch "Untersuche die relative Lage der drei Ebenen in Abhängigkeit von λ, gib gegebenenfalls die gemeinsamen Punkte an."

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Der Fragesteller hätte die Aufgabe dann so formulieren sollen.

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2	λ	0	4
0	1	5	6
λ	3	5	10

 

-λ	-λ2/2	0	-2λ
0	1	5	6
0	-λ2/2+3	5	-2λ+10

-λ	-λ2/2	0	-2λ
0	-1	-5	-6
0	-λ2/2+2	0	-2λ+4

@hj213 ich habe so gemacht aber ich kann leider nicht weiter :( kannst du mir sagen ob es richtig ist ?

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Ja, das ist richtig.
Allerdings hast du z.B. nicht nur das  (- λ/2)-fache der ersten Gleichung zur dritten addiert, sondern zusätzlich noch die erste Gleichung durch ihr (- λ/2)-faches ersetzt. Das kann man zwar machen, falls  λ ≠ 0 ist, aber es verkompliziert die erste Gleichung und es erfordert weitere Falluterscheidungen. Lass die erste Gleichung wie sie war :   2   λ    0   |   4

Als nächstes löst du die letzte Gleichung nach y auf, indem du auf beiden Seiten durch  -λ²/2+2 dividierst. Jetzt musst du aufpassen, dass du nicht durch 0 teilst, du bist also im dritten der oben von mir erwähnten Fälle.
Vereinfache  y = ...  mit der dritten binomischen Formel und berechne damit z (aus der zweiten Gleichung von oben) und x (aus der ersten Gleichung)

Untersuche zum Schluss noch die beiden Fälle  λ = 2 und  λ = -2

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@hj212 ja stimmt ,das hat mir sehr weitergeholfen.so bin ich auf dem rechtigen weg :D

vielen Danke :)