Potenzbruch gekürzt! Wie kam mein Lehrer auf die Lösung?

Question

ich sitze hier gerade an einer Probeklausur meines Profs und komme einfach nicht drauf, wie er diesen Term gekürzt hat:
1 - 1/2ⁿ + 1/2ⁿ⁺¹ = 1 - 2-1/2ⁿ⁺¹
Hat er da irgendeine besondere Potenzfunktion benutzt? Ich bin hier echt am verzweifeln.. Seine Lösung am Ende stimmt ja auch, denn es muss 1 - 1/2ⁿ⁺¹ rauskommen (vollständige Induktion ist das Thema).Ich danke für eine schnelle Hilfe! (:

Answer 1

1 - (1/2)^n + (1/2)^{n + 1}

1 - (1/2)^n + 1/2·(1/2)^n

1 + (- 1 + 1/2)·(1/2)^n

1 + (- 1/2)·(1/2)^n

1 - 1/2·(1/2)^n

1 - (1/2)^{n+1}

Comments

Danke für die Antwort (: Gilt das auch, wenn die Potenzen nur für den unteren Term gelten, d.h.

1 - 1/(2ⁿ) + 1/(2ⁿ⁺¹) ?

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Da (1/2)ⁿ = 1/(2ⁿ): ja.

Answer 2

1 - 2-(1/2)ⁿ⁺¹ kommt da mit Sicherheit nicht raus, hast du dich da vielleicht vertippt? Stattdessen würde ich das so umformen:

Da 1/2ⁿ = 2*(1/2)ⁿ⁺¹

folgt:

1 - (1/2)ⁿ + (1/2)ⁿ⁺¹ = 1 - 2 * (1/2)ⁿ⁺¹ + (1/2)ⁿ⁺¹ = 1 + (1/2)ⁿ⁺¹ * (1 - 2) = 1 - (1/2)ⁿ⁺¹

Comments

Nein, ich denke ich habe nur ein paar Klammern vergessen, die Potenzen gelten nur für den unteren Term:

1 - 1/(2ⁿ) + 1/(2ⁿ⁺¹) = 1 - (2-1)/(2ⁿ⁺¹) = 1 - 1/(2ⁿ)

So steht das auf seinem Lösungsblatt und ich steig nicht dahinter =_=

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Es ist, wie in meinem Kommentar zur Antwort von Mathecoach schon vermerkt:

(1/2)ⁿ = (1ⁿ)/(2ⁿ) = 1/(2ⁿ)

Deswegen ist die Antwort von Mathecoach, ebenso wie meine, nach wie vor richtig.