Question

Vom Punkt P(-1|-1) sind zwei Tangenten an den Graphen f(x)=x^2 gezeichent.

Bestimme die Koordinaten der Berührungspunkte.

Bei einem Liniaren Gleichungssystem könnte man die Gleichung gleichsetzten und dann x und y ausrechenn (Schnittpunkt), aber hier weis ich gar nicht wie ich anfangen kann. Wie komme ich an die zwei Punkte?

Answer 1

Es gibt eine schöne Bedingung, wenn man eine Tangente durch einen bestimmten Punkt P(Px|Py) an den Graphen legen will:

f(x) = f'(x) * (x - Px) + Py

das gibt hier

x^2 = (2x) * (x - (-1)) + (-1)

x = - 1 ± √2 

Die y-Koordinaten berechnen ist nun nicht weiter schwer.

Answer 2

Die allgemeine Gleichung für eine Gerade lautet: y = mx + b

Da die Geraden Tangeten an die Kurve sind, ist deren Steigung m = f ' (x) = 2x

Punkt P(-1/-1) liegt auf den Tangenten: -1 = m*(-1) + b

Nach b aufgelöst: b = -1 + m = -1 +f '(x)

Die Tangenten berühren die Kurve, also gibt es gemeinsame Punkte

f(x) = m * x + b

f(x) = f '(x)*x - 1 + f '(x)

x² = 2x * x - 1 + 2x

zusammengefasst und dann p-q Formel bekommst du dann die Werte für x

x1,2 = 1±√2

Answer 3

Vom Punkt P\((\red{-1}|\blue{-1})\) sind zwei Tangenten an den Graphen \(f(x)=x^2\) gezeichnet.
Bestimme die Koordinaten der Berührungspunkte.

Die Berührpunkte haben die Koordinaten:

B\((x|x^2)\)

\(f'(x)=\green{2x}\)

Punkt-Steigungsform:

\( \frac{x^2-(\blue{-1})}{x-(\red{-1})}=\green{2x} \)

\( \frac{x^2+1}{x+1}=2x \)

\( x^2+2x=1 \)

\( (x+1)^2=2| ±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\( x+1=\sqrt{2}\)  

\( x_1=-1+\sqrt{2}\)  \(f(-1+\sqrt{2})=(-1+\sqrt{2})^2≈0,17\)

\(2.)\)

\( x+1=-\sqrt{2}\)

\( x_2=-1-\sqrt{2}\)     \(f(-1-\sqrt{2})=(-1-\sqrt{2})^2≈5,83\)