Leontief-Modell mit Gauß-Jordan-Verfahren lösen

Question

x +   y   +  z = 0

3x + 2y + z = 0

4x + 3y + 2z = 0

Dieses Leontief-Modell soll ich mit dem Gauß-Jordan-Verfahren lösen. Also einfach in eine Stufenform bringen. Beim Leontief-Modell verstehe ich das jedoch nicht ganz. Was sollen auch diese Ts bedeuten?

Die Lösung ist: (t, -2t, t)

Answer 1

x + y + z = 0
3·x + 2·y + z = 0
4·x + 3·y + 2·z = 0

II - 3*I ; III - 4*I

x + y + z = 0
-y - 2·z = 0
-y - 2·z = 0

Hier sind beide Zeilen linear abhängig, weshalb man eine streichen kann und einen Freiheitsgrad enthält. D.h. du darfst dir eine Unbekannte frei wählen.

z = t (Wir wählen uns z = t frei aus)

-y - 2·z = 0
y = - 2·z = - 2·t

x + y + z = 0
x = -y - z = -(- 2·t) - (t) = t

Du erhältst als Lösung [t, - 2·t, t].

Comments

Danke, habe ich verstanden. Habe leider die lineare Abhängigkeit gar nicht erwähnt, weil ich es bis zu deiner Erklärung auch nicht verstanden habe.

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Das ist immer so wenn eine Gleichung ein vielfaches der anderen ist. Nimm z.B.

x + y = 5 und 
4x + 4y = 20

Nun denkst du dir ein Wertepaar x, y aus, für das die erste Gleichung erfüllt ist. Das Wertepaar setzt du dann in die zweite Gleichung ein. Auch das sollte jetzt stimmen. Die Zweite Gleichung sagt also nichts anderes aus als die erste Gleichung. Damit ist die zweite Gleichung unnötig und kann gestrichen werden.