Schnittpunkte X-Achse Kurvendiskussion

Question

Ich rechne gerade eine Kurvendiskussion mit der Gleichung f(x)= x³-3x² durch.

Ich bin es gewohnt, dass in der Gleichung noch eine Zahl ohne "x" aufgeführt ist, damit ich die pq-Formel anwenden kann. In dem Fall ist es leider nicht so, weshalb ich auch etwas Probleme mit dieser Aufgabe habe.

Meine Frage:

Darf ich einfach so ein "+0" anhängen, damit ich ein unverfälschtes Ergebnis heraus bekomme oder ist die pq-Formel in dem Fall eher überflüssig.

In der Musterklausur wird wie folgt vorgegangen:

f(x)=0 

x³-3x²=x²(x-3)=0

"Durch die Umformung sind die Nullstellen der Funktion direkt bestimmbar zu:

x01=x02=0 und x03=3"

Meine Frage hierzu:

Wie kommen die nun letztendlich auf die drei Nullstellen? Ich verstehe nicht, wo ist die Stellen aus der Umformung rauslesen kann.

 

Comments

Um es auf den Punkt zu bringen.
Dein Fehler war das du Funktion als Funktion
2.Grades aufgefasst hast für die die pq-Formel
angebracht ist und die nur max 2 Nullstellen
haben kann.
Das alles gilt für eine Funktion 3.Grades nicht mehr.

Answer 1

Du kannst die Gleichung umformen durch Ausklammern. Empfiehlt sich immer, wenn es möglich ist, weil damit die Terme übersichtlicher werden.

x²(x-3) = 0

Ein Produkt wird null wenn einer der beiden Faktoren null wird. Also wenn x² = 0 wird oder die Klammer gleich null wird.

Durch das Quadrat hast du für x=0 eine doppelte Nullstelle bei x. x₁=0 und x₂=0

Bleibt noch die Klammer, die null wird für x₃=3

Also sind deine möglichen Lösungen x₁=0, x₂=0, x₃=3

Die p-q Formel kannst du bei der Gleichung so wie sie am Anfang da steht nicht anwenden, weil die größte Potenz x³ ist. Bei der p-q Formel darf die größte Potenz aber nur x² sein.

Du kannst aber auch mit p-q Formel rechnen, ist aber umständlich. Dazu musst du aber erstmal die Voraussetzung für die p-q Formel schaffen, nämlich größte Potenz x². Das bekommst du, wenn du nur x ausklammerst.

x(x²-3x)=0   , x₁=0 hinschreiben, dann darfst du die Gleichung mit x kürzen

x²-3x = 0

x_2,3= 3/2 ±√(9/4 - 0) , da du kein q in der Gleichung hast, ist q = 0

x₂=3/2 - 3/2 = 0

x₃= 3/2 + 3/2 = 6/2 = 3

Comments

Vielen Dank, sehr verständlich erklärt. =)

Answer 2

x = 0 ist eine so genannte  doppelte Nullstelle, da x^2 =x*x

Answer 3

x^3 - 3x^2 = 0

x^2 * (x - 3) = 0

Ein Produkt A * B wird null wenn A oder B Null werden.

x^2 = 0 --> x = 0 (doppelte Nullstelle)

x - 3 = 0 --> x = 3