Umkehrfunktion von sinus bzw. eulerscher Zahl exponent

Question

ich sitze an zwei Umkehrfunktionsaufgaben, wo ich mir nicht sicher bin, ob das richtig ist, was ich tue:

1. Definitions- und Wertebereich prüfen

2. falls sie gleich sind, dann einfach x mit y vertauschen:

Funktion 1:

e hoch x zum quadrat-2 also:

f(x) = e^{^x^2-2 (Die -2 befindet sich auf der selben Exponentenebene wie die x)}

ich würde jetzt folgendes tun:

y = e^x^2-2 // x und y vertauschen da W und D-Bereich sind R

x = e^y^2-2

Wie kann ich das dann nach y auflösen?

Zweite Funktion:

f(x) = sin(5x-2)

y=sin(5x-2)

x=sin(5y-2) | arcsin()

arcsin(5y-2) +x = 5y-2|+2

arcsin(5y-2) + x +2 = 5y| :5

(arcsin(5y-2) + x +2) / 5 = y

ist das richtig???

Danke für die Hilfe

Answer 1

y = e^{x² - 2}

LN(y) = x^2 - 2

LN(y) + 2 = x^2

√(LN(y) + 2) = x

x = √(LN(y) + 2)

y = sin(5x - 2)

arcsin(y) = 5x - 2

arcsin(y) + 2 = 5x

(arcsin(y) + 2) / 5 = x

x = (arcsin(y) + 2) / 5

Comments

10vielen Dank.

eine Frage zu der ersten Aufgabe.

Ich wollte auch LN() anwenden, allerdings als Basis für die X herauszufinden und nicht e,, da "e" die Zahl 2,71....darstellt und man "X" als Basis herausrechnen musste.

Wieso wird LN() in diesem Fall auf 2,71 angewandt und nicht auf X??

Danke

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Wie löst du die Gleichung

e^x = 2

nach x auf ?

Answer 2

Hier zunächst eine Skizze
blau ist die Ausgangsfunktion
rot / grün ist die Umkehrfunktion

f ( x ) = e^{x² - 2}

Definitionsbereich
D = ℝ ( die Funktion ist für jedes beliebige x berechenbar )

Wertebereich für den Exonenten ( x^2 - 2  )
lim x -> ± ∞ = ∞
lim x -> 0 = -2
lim ( x^2 - 2)  -> ∞  [  e^{x² - 2} ] = ∞
lim ( x^2 - x ) -> -2 [  e^{x² - 2} ] = e^{-2}

W = [ e^{-2} ; ∞ ]
( siehe blaue Kurve )

Der Definitionsbereich der Funktion ist gleich dem Wertebereich
der Umkehrfunktion.
Der Wertebereich der Funktion ist gleich dem Definitionsbereich
der Umkehrfunktion.
( siehe rot / grüne Kurve )

D_f = ℝ = W_f*
W_f = [ e^{-2} ; ∞ ] =  D_f*

Zur Bildung der Umkehrfunktion tausche ich immer
schon zu Anfang x und y
y = e^{x² - 2}
x = e^{y² - 2}  | ln ()
ln ( x ) = ln ( e^{y² - 2} )
ln ( x ) = y^2 - 2
y^2 = ln ( x ) + 2
y = ± √ [ ln ( x ) + 2 ]

2.Frage

y = sin ( 5x - 2 )

x = sin ( 5y - 2 ) | arcsin ( )

arcsin ( x) = arcsin ( sin ( 5y - 2 )  )
5y - 2 = arcsin ( x )
5y = arcsin ( x ) + 2
y = [ arcsin ( x ) + 2 ] / 5

Comments

Vielen Dank,

zu der der Sinusfunktion hätte ich noch eine Frage und zwar.

der Arcsin geht max bis 1 = 90

Das bedeutet, dass der Definitionsbereich bei arcsin von -1 bis 1 geht.

Meine Unsicherheit entsteht dann, wenn ich daran denke, dass wenn D und W-Bereiche von normalen Funktionen nicht im selben Zahlenbereich sind, dann muss man den D und W-Bereich vertauchen...

Bei der inversen nun habe ich ja beim arcsin von -1 bis 1 als D-Bereich

Bei der normalen dagegen hat sin um einiges größeren Definitionsbereich.

Spielt das irgendeine Rolle???

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Ich gehe einmal nicht auf alle deine Vermutungen ein sondern
sage dir direkt wie es ist

Stell dir die Sinuskurve vor. Diese geht auf der
x-Achse von - ∞  bis + ∞
( wobei man heutzutage x meistens nicht mehr in Grad
sondern im Bogenmass einsetzt )

Der Funktionswert sin ( x ) geht von -1 .. + 1
f ( x ) = sin ( x )
D = ℝ
W = [ -1 ; 1 ]

f ( x ) = acrsin ( x ) ist die Umkehrfunktion
D = [ -1 ; 1 ]
W = ℝ

Lass dir beide Funktion mit einem Funktionsplotter
z.B. hier oben rechts auf dieser Seite zeichnen.

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Warum ist denn der Wertebereich des acrsin gleich ℝ?

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Warum nicht ?
Der arcsin osziliert um die y-achse von
minus unendlich bis plus unendlich.
So ist es jedenfalls in meinem Kopf
gespeichert.

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Dann ist der acrsin keine Funktion und insbesondere keine Umkehrfunktion.

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Der Fragesteller begann seine Frage mit
ich sitze an zwei Umkehrfunktionsaufgaben, wo ich mir nicht
sicher bin, ob das richtig ist, was ich tue:
1. Definitions- und Wertebereich prüfen
2. falls sie gleich sind, dann einfach x mit y vertauschen:

Beim Fragesteller sind offensichtlich leicht falsche
Vorstellungen vorhanden.
Deshalb kam es mir darauf grundsätzlich einmal
an zu sagen

Der Definitionsbereich der Funktion ist gleich dem Wertebereich
der Umkehrfunktion.
Der Wertebereich der Funktion ist gleich dem Definitionsbereich
der Umkehrfunktion. 

In aller akademischen Strenge hätte die sin Funktion eingeschränkt
werden müssen.

Ich glaube, diese Aussage hätte den Fragesteller eher wieder
verunsichert.

Ich schreibe meine Antworten für den Fragesteller und gehe auf
den vermuteten Kenntnisstand ein.

Wie fandest du insgesamt die Beantwortung der Frage durch mich ?