Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass $$f(s) = \frac{B(s,t) * \Gamma (s+t)}{\Gamma (t)}$$ für $$s>0$$ und $$t>0$$ logarithmisch konvex ist mit $$B(s,t) = \int_{0}^{1} x^{s-1} (1-x)^{t-1} dx$$
Problem/Ansatz:
Hat hierfür jemand einen ausführlichen Ansatz? Ich komme leider nicht weit.
Ein Ansatz von mir, war dass ich es direkt über die Definition von logarithmisch konvex mit Einsetzen der Funktion f versucht habe. Habe damit aber nichts sinnvolles zustande gebracht.
Meine andere Idee ist zu zeigen, dass $$g(s) = \frac{\Gamma (s+t)}{\Gamma(t)}$$ logarithmisch konvex ist. Da ich bereits gezeigt habe, dass $$h(s) = B(s,t)$$ logarithmisch konvex ist und das Produkt zweier logarithmisch konvexer Funktionen ja wieder logarithmisch konvex ist. Letztere Behauptung haben wir in der Vorlesung aber nie bewiesen, weshalb ich das ungern so machen würde. Außerdem komme ich bei dem Ansatz auch nicht weit.
