Logarithmische Normalverteilung erwartungstreu zeigen

Question

Hallo zusammen, ich befasse mich gerade mit der log-normal Verteilung.

Ich habe die log-likelihood Fkt L(μ,σ) aufgestellt, diese nach μ abgeleitet, null gesetzt und nach μ umgestellt:

\( \widehat{\mu}=\frac{\sum \limits_{i} \ln x_{i}}{n} \)

Dies stimmt auch nach Wikipedia.

Nun möchte ich zeigen, dass

\( \widehat{\mu} \) unbiased ist.

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Bisher habe ich: E(μ^∧)=(1/n)∑E(ln(y_i))= E(ln(y_i )) und am Ende müsste doch wieder μ herrauskommen?

Aber hier scheitere ich…

Ich wäre euch sehr dankbar über jegliche Hilfe!

Comments

Also ich vermute, dass ich

\( \mathbb{E}(X)=\exp \left(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}\right) \) benutzen muss und umstellen ln(E()) aber das ist ja dann auch nicht =μ

Answer 1

Zeige, dass \(E[\ln(X)]=\mu\) für lognormalverteilte ZV. Das geht zum Beispiel über die Dichte mittels Substitution.

Comments

Dankeschön schonmal:)

Also ich soll E(ln(y))= ∫ ln(y) f(ln(y)) dy bestimmten und dann soll μ herauskommen? (f ist hier die Dichte)

Das habe ich auch gemacht und auch in einen Rechner eingegeben aber es kommt nichts brauchbares raus...

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Hast du substituiert?

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Ja, ich habe es versucht, aber ich bekomme das y nie weg. Ich stehe gerade richtig auf dem Schlauch…

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Beachte \(E[g(X)]=\int\!g(x)f_X(x)\,\mathrm{d}x\). Damit kommst du dann auf die richtige Dichtefunktion, wo du im Nenner eben genau das \(y\) stehen hast, was sich dann nach der Substitution rauskürzt.

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Jetzt sollte es aber richtig sein, danke! Nun habe ich:

Aber solch ein Konstrukt kann man doch nicht so einfach integrieren? Gibts hier ein Trick? Ansonsten artet es ja aus… auch Rechner sind hier überfordert.

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Musst du auch nicht, wenn du siehst, dass dort nun die Dichte der Normalverteilung steht und das Integral daher dem Erwartungswert der Normalverteilung entspricht.

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Dankeschön!

Ich habe im gleichen Zuge dann noch die Varianz berechnet, mit dem selben Trick: Var(μ^∧)=(1/n)² ∑Var(ln(yi))= (1/n) Var(ln(y_i))= (1/n) [E(ln(y)²) - E(ln(y))² ]= (1/n) [ σ² - μ²]

Das sollte so ja stimmen?

Dann möchte ich den Cramer-Rao lower bound zeigen: Var(μ^Λ)≥ 1/ -E(*)

Wobei * die zweimalige Ableitung nach μ von ln(L(μ,σ)), wie in der Aufgabenstellung beschrieben. Also *=-n/σ² dies stimmt auch, habe ich in einem Skript abgeglichen.

Stelle ich nun den Cramer-Rao auf, erhalte ich: -μ²≥0 und hier stimmt ja offensichtlich was nicht.

Daher meine Frage, habe ich das mit der Varianz so richtig berechnet?

(Weil μ unbiased ist, existiert auch der Cramer-Rao)

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Und E(*)=E(-n/σ²)= -n/σ² stimmt doch auch?

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Die Varianz ist nicht linear wie der Erwartungswert. Es ist \(\mathrm{Var}(\alpha X)=\alpha^2\mathrm{Var}(X)\).

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Genau, das habe ich auch beachtet: 1/n rausgezogen und quadriert, die Summe auch rausgezogen, die zu n wird und insgesamt erhalte ich 1/n