Logarithmische Gleichung mit Exponent lösen: √(x^{log √x} = 10)

Question

Logarithmische Gleichung mit Exponent lösen:

\( \sqrt{x^{\log (\sqrt{x})}=10} \)

Ich habe als erstes mal quadriert und habe dann die x.... = 100 bekommen. Dann komm ich aber nicht weiter.

Answer 1

wahrscheinlich ist mit log(x) der dekadische Logarithmus gemeint.

$$\begin{aligned} \sqrt{{x}^{\log{\sqrt{x}}}} &=10 &&\mid (...)^2\\ {x}^{\log{{x}^{\frac{1}{2}}}} &= 100 &&\mid \log(...)\\ \log({x}^{\log{{x}^{\frac{1}{2}}}}) &= 2 &&\mid \text{Logarithmusgesetz der Exponenten}\\ \frac{1}{2}\cdot \log(x)\cdot \log(x) &= 2 &&\mid \cdot 2\\ \log(x)^2 &= 4 &&\mid \sqrt{...}\\ \log(x) &= 2 &&\mid 10^x\\x &= 10^2=\boldsymbol{\underline{100}} \end{aligned}$$

Ist das verständlich?

Gruß

Smitty

Comments

Ich verstehe nicht ganz, wieso man dort den Logarithmusgesetz der Exponenten anwenden darf. x müsste doch gleich wie der log sein, oder?

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Das Gesetz lautet so:

$$log({a^b})=b\cdot log({a})$$

In dem Fall ist in der 3. Zeile $$log({x}^{\frac{1}{2}}$$

der Exponent. Das wird dann mit $$log(x)$$ multipliziert und man erhält:

$$log({x}^{\frac{1}{2}})\cdot log(x)$$ Dort kann man dann mit dem Exponenten "1/2" vom x wieder multiplizieren. Man erhält:$$\frac{1}{2}\cdot log(x)\cdot log(x)$$