y = (√x)^x ableiten durch logarithmische Differentiation

Question

Man soll y = (√x)^x duch logarithmische Differentiation ableiten.

Was ich bereits erreicht habe:

ln f(x) = x*ln√x

g'(x) = 1*ln√x+x*1/√x

g'(x) = ln√x + x/√x = f'(x)/ f(x)

doch irgendwie komme ich nicht weiter...

Wie sollte man nun weiter vorgehen (wenn meine Vorlage überhaupt stimmt)?

Answer 1

Du hast die innere Ableitung beim Logarihmus nicht berücksichtigt.

Machs Dir einfacher und schreibe ln(√x) = 1/2ln(x)

 

ln( f(x) ) = x/2ln(x)

g'(x) = 1/2*ln(x) + 1/2

 

Nun ist das ja f'(x)/f(x), also f'(x) = g'(x)*f(x)

 

f'(x) = (1/2*ln(x) + 1/2) * (√x)^x = 1/2(√x)^x (ln(x) + 1)

 

Auf Wunsch auch noch (√x)^x = x^{x/2}

 

Grüße