Integration als Umkehrung der Differentiation. Stammfunktion. Raketenschlitten.

Question

Aufgabe (für Geogebra)

In seiner Ausbildung zum Astronauten wird Herbert in einen Raketenschlitten gesetzt, dessen Beschleuhigung nach \( t \) Sekunden gleich \( a(t)=0,2 t^{3}-6 t^{2}+40 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \) ist. Der Raketenschlitten beginnt seine Fahrt mit \( 0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \), beschleunigt danach und wird schließlich wieder langsamer, bis seine Geschwindigkeit wieder \( 0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) beträgt.

a) Berechne die Geschwindigkeitsfunktion \( v \) und die Wegfunktion \( s \).

b) Wie lange dauert die Fahrt im Raketenschlitten? Berechne.

c) Zu welchem Zeitpunkt erreicht der Schlitten seine maximale Geschwindigkeit und wie groß ist diese?

d) Bestimme die maximale positive und die maximale negative Beschleunigung, der Herbert auf seiner Fahrt ausgesetzt ist. Zu welchem Zeitpunkt tritt sie jeweils ein?

e) Welchen Weg legt Herbert auf seiner Fahrt mit dem Raketenschlitten insgesamt zurück?

Answer 1

für das bilden der Stammfunktion muss du so vorgehen:

$$ a(t)=0.2t^3-6t^2+40t $$

$$v(t)=\int_{a}^{b}a(t)dt=\frac{1}{20}t^4-2t^3+20t^2+C$$

$$s(t)=\int_{a}^{b}v(t)dt=\frac{1}{100}t^5-\frac{1}{2}t^4+\frac{20}{3}t^3+Ct+C$$

habe da eigentlich immer nur die zahl t die im Exponenten steht +1 gerechnet, in den Nenner des jeweiligen Koeffizienten kopiert und das gliedweise für jeden Summanden der Gleichung gemacht.

hier mal eine allgemeine Gleichung für Ganzrationale Funktionen n-ten grades ;)

$$\sum_{i=0}^{n}a_ix^i=f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+......++a_{0}x^{0}$$

und hier die Allgemeine Formel für das bilden der Stammfunktion:

$$F(x)=\int f(x)dx=\frac{a_n}{n+1}x^n+\frac{a_{n-1}}{n}x^{n-1}+\frac{a_{n-2}}{n-1}x^{n-2}+\frac{a_{n-3}}{n-2}x^{n-3}+.....+C $$

Answer 2

Geogebra habe ich nicht.
Hier die Lösungen mit meinem
Mathe-Programm
Anstelle von t habe ich x verwendet.