f ( x ) = x ² - p x + q = 0 ( 1a )
p = 90 ; q = ( - 1 000 ) ( 1b )
Lösen werden wir ( 1ab ) mit Hilfe des ===> Satzes von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Auch hier wieder meine Polemik; die von Wiki und Konsorten verbreitete Behauptung, der Entdecker des SRN sei Gauß, stellt die größte Fälschung dar in der Geschichte der Matematik. Du siehst; Matematik ist gar nicht so dröge und unspannend. Zunächst nur so viel: Artin und v.d. Waerden, Urgestein der Algebraforschung ( 1930 ) kennen überhaupt keinen SRN ( Dein Schrat kennt diese Autoren; schließlich hat er ja studiert. )
Der wahre Entdecker verbleibt nach wie vor anonym. Immerhin fruchteten meine anhaltenden Proteste; ein User schrieb mir hier in Matelounge, wahrscheinliches Entdeckungsjahr sei 1975.
Dein Polynom ( 1ab ) ist normiert; die Aussage des SRN lautet, dass seine Wurzeln ganzzahlig sein müssen. Vieta das geschmähte Stiefkind
q = x1 x2 = ( - 1 000 ) ( 2 )
Selbst wohl meinende Anhämger des SRN unterstellen hier, sämtliche Zerlegungen der 1 000 seien gleich wahrscheinlich - wahrlich ein aussichtsloses Unterfangen. Vor mir hat sich eben noch niemand gefragt, was ggt x1;2 sein könnte. Sei m ein Teiler; wieder folgt aus Vieta
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 3a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 3a ) befriedigt, möge K-Teiler heißen des Polynoms f in ( 1a ) - " K " wie " Koeffizient " Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt , im Falle ( 1ab ) offenbar 10 . Die Behauptung in ( 1ab )
ggt x1;2 = gkt ( f ) = 10 ( 3b )
Frage: Kann man auch ein ÖPolynom durch seinen gkt kürzen analog dem ggt eines Bruches? Ja; und dies geschieht mit folgender Substitution
u := x * gkt ( f ) = 10 u ( 4a )
( 4a ) einsetzen in ( 1ab )
f ( x ) = f ( u ) = ( 10 u ) ² - 9 * 10 ( 10 u ) - 10 * 10 ² = ( 4b )
= 10 ² ( u ² - 9 u - 10 ) = 0 ( 4c )
Schwer vorstellbar, wenn Gauß wirklich der Entdecker des SRN wäre, dass in den 200 Jahren seit Gauß niemand auf diesen gkt gestoßen sein soll. Meine Fälschungsvorwürfe gehen durchaus in die Tiefe.
( 4c ) gestaltet sich übersichtlich; die 10 besitzt nur noch zwei Zerlegungen, die triviale 10 = 1 * 10 so wie die nicht triviale 10 = 2 * 5 . Hinreichende Probe, überlebenswichtig in jeder Klausur, ist immer Vieta p :
p = u1 + u2 ( 5a )
| u1 | = 1 ; | u2 | = 10 ; | p | = 9 ; ok ( 5b )
| u1 | = 2 ; | u2 | = 5 ; | p | = 3 ( 5c )
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen, und fertig ist die Laube ( Wegen p > 0 muss die betragsgrößere Wurzel positiv sein. )
u1 = ( - 1 ) ; u2 = 10 ( 6a )
x1 = ( - 10 ) ; x2 = 100 ( 6b )
