Geben Sie eine Funktion an, mit der Sie die Strahlung in Millisievert pro Stunde zu einem Kalenderiahr bestimmen können.

Question

Aufgabe Logarithmische Funktion und Halbwertszeit:

Die radioaktive Strahlung einer Substanz halbiert sich alle 50 Jahre (somit beträgt die Halbwertszeit 50 Jahre). Die Strahlung einer radioaktiven Probe wurde mit 256 Millisievert \( (1 / 1000 \) Sievert) pro Stunde im Jahr 2013 gemessen.

Vervollstāndigen Sie folgende Wertetabelle:

Jahr	1863	1913	1963	2013	2063	2113	2163
Strahlung in Millisievert pro Stunde	2048	1024	512	256	128	64	32

Geben Sie eine mathematische Funktion s(t) an, mit der Sie die Strahlung in Millisievert pro Stunde zu einem beliebigen Kalenderiahr t bestimmen können.

Kontrollieren Sie, ob die Funktion für die in der Wertetabelle angegebenen Werte korrekt ist.

\( s(t)= \)

Hinweis: t ist nicht die Anzahl an verstrichenen Jahren vom Referenzjahr, sondern das Kalenderjahr.

Ansatz:

Mein erster Ansatz war, dass ich das Jahr 2013 als Anfangswert genommen habe, weil Dort mit den Messungen begonnen wurde ( oder verstehe ich das in der Aufgabenstellung falsch?) Jedoch habe ich das ganze nach Anzahl der verstrichenen Jahre berechnet, was ja aber falsch ist. Aber wie genau mache ich das, wenn t das Kalenderjahr sein soll. Der Taschenrechner streikt bei so Hohen zahlen.

Answer 1

Hi,

wenn du den Anfangswert 2013 nimmst musst du dir folgendes überlegen:

1. alle 50 Jahre halbiert sich der Strahlungswert

2. am Startzeitpunkt besteht der Wert 256.

Der allgemeine Ansatz wäre

$$ s(t) = a_0 \cdot 2^{-\frac{t-t_0}{h}} $$

a₀ ist dein Anfangswert zum Zeitstartpunkt t₀. h ist deine Halbwertszeit in (Kalendarjahren)

Wir gehen mal davon aus, dass hier Schaltjahre nicht beachtet werden. Wie würde die Funktion mit deinen Daten also aussehn?

Comments

Das hilft mir schon mal sehr weiter, das heißt die Funktion wäre

s(t)=256*2^{-((t-2013)/50)} ?

Heißt das jetzt, dass

s(t)=a0⋅2−t−t0h

eine allgemeine Formel ist, die ich mir für solche Aufgabestellungen merken kann??

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Hi,

ja das ist ein allgemeiner Ansatz jedoch mit der Beschränkung, dass sich der Funktionswert alle h Zeiteinheiten halbiert (deswegen die 2 als Basis und der Exponten ist negativ wenn du t größer als dein Starzeitpunkt t0 ist).

Answer 2

Ich habe deine Kommentare ( 1,2 ) mit
Yakyu gelesen und komme jetzt ein bißchen spät.

Der Clou dürfte wohl sein den hohen Exponenten
wegzubekommen und dafür den Ausdruck
( t - 2013 ) / 50 einzusetzen.

Als letztes muß es heißen
s ( 1963 ) = 256 * 2 = 512 dann stimmts.

Als Berechnungformel bekomme ich

s ( t ) = 256 *  e hoch ( ( t - 2013 ) / 50 * ln (1/2 )

heraus. Man kann die Formel natürlich mit
jeder beliebigen Basis aufstellen oder
überführen.

Allgemein s ( t ) = a * e^{t*b}