Ich benutze mal zur Abkürzung: \(x(t)=e^{-t}[c(t),s(t)]\). Dann ist
$$x'(t)=e^{-t}[-c(t)-s(t),-s(t)+c(t)] \\ \|x'(t)\|^2=e^{-2t}(c(t)^2+s(t)^2+2c(t)s(t)+s(t)^2+c(t)^2-2s(t)c(t)=2e^{-2t}$$
Damit erhalte ich als Bogenlänge \(\sqrt{2}\)?
Nun ist der Blickwinkel zwischen \(x'(t)\) und \(-x(t)\) zu bestimmen. Das Skalarprodukt ist
$$\langle -x(t),x'(t) \rangle =-e^{-2t}(-c(t)^2-c(t)s(t)-s(t)^2+s(t)c(t))=e^{-2t}$$
Für die Längen gilt: \(\|x(t)\|=e^{-t}\) und \(\|x'(t)\|=\sqrt{2}e^{-t}\). Also gilt für den Winkel \(\cos(\alpha)=1/\sqrt{2}\), also \(\alpha=0.25 \pi\).
