Bestimmen Sie die Bogenlänge der Spirale

Question

Aufgabe:

Für \( b>0 \) betrachten wir die Spirale
\( S_{b}:=\left\{\left(\begin{array}{c} \sin (t)-t \cos (t) \\ \cos (t)+t \sin (t) \end{array}\right): t \in[0, b]\right\} \subset \mathbb{R}^{2} . \)
(a) Bestimmen Sie die Bogenlänge von \( S_{b} \) in Abhängigkeit von \( b>0 \).

Answer 1

Aloha :)$$\ell=\int\limits_{S_b}dr=\int\limits_0^b\frac{dr}{dt}\,dt=\int\limits_0^b\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^b\left\|\begin{pmatrix}\cos t-(\cos t-t\sin t)\\-\sin t+(\sin t+t\cos t)\end{pmatrix}\right\|\,dt$$$$\phantom\ell=\int\limits_0^b\left\|\begin{pmatrix}t\sin t\\t\cos t\end{pmatrix}\right\|\,dt=\int\limits_0^b\sqrt{(t\sin t)^2+(t\cos t)^2}\,dt=\int\limits_0^bt\,dt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^b=\frac{b^2}{2}$$