Berechnen Sie für [a, b] \subset ℝ die Bogenlänge der Kurve \left.\gamma\right|_{[a, b]} .

Question

Aufgabe:

Sei \( c \in \mathbb{R} \) und \( \gamma(t)=e^{c t}(\cos (t), \sin (t)) \) für \( t \in \mathbb{R} \).
(a) Skizzieren Sie die Kurve für \( c=\frac{1}{2 \pi} \) und \( -2 \pi \leq t \leq 2 \pi \).
(b) Berechnen Sie für \( [a, b] \subset \mathbb{R} \) die Bogenlänge der Kurve \( \left.\gamma\right|_{[a, b]} \).
(c) Für welche \( c \in \mathbb{R} \) existiert der Grenzwert \( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} L\left(\left.\gamma\right|_{[a, b]}\right) \) ?
(d) Zeigen Sie, dass die Kurve \( \gamma \) für \( c \neq 0 \) jeden Kreis um den Ursprung in genau einem Punkt schneidet, bestimmen Sie den Schnittpunkt, und berechnen Sie den Cosinus des Schnittwinkels.

Problem/Ansatz:

Ich sitze in dieser Woche an dieser Aufgabe. Über Anregungen und Tipps würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Was ist Dein Problem: Hast Du in Deinem Lehrmaterial nicht die Formel für die Berechnung der Länge einer Kurve gefunden oder kannst Du das dafür benötigte Integral nicht ausrechnen oder...

Comments

Kein Interesse oder hast Du die Lösung selbst gefunden?

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Hey!

MatheSoSo und ich arbeiten gerade zusammen. a) und b) haben wir gelöst. Das war ja nur skizzieren und etwas Rechenaufwand. Wir haben nun die folgende Bogenlänge heraus:

$$L(γ)=\frac{\sqrt{c^{2}+1}}{c}(e^{cb}-e^{ca})$$

Bei c) habe ich folgende Überlegungen:

1. Überlegung: c≠0 muss auf jeden Fall gelten, da wir sonst bei dem Bruch ein Problem haben.

2. Überlegung: Wir können wegen der Stetigkeit von $$L(γ)$$ und der Wurzelfunktion schreiben, nachdem wir die Rechnung von b) übernehmen, schreiben:

$$\lim\limits_{a\to-\infty}L(γ)=\lim\limits_{a\to-\infty}\frac{\sqrt{c^{2}+1}}{c}(e^{cb}-e^{ca})$$

Wir wissen auf jeden Fall, dass $$e^{-\infty}$$ quasi Null entspricht (Ich weiß, dass es verboten ist es so zu schreiben:)) Also müssen wir mit unserem c gegensteuern, oder?

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Also müssen wir mit unserem c gegensteuern, oder?

So kann man das sagen: Wenn c positiv ist, dann gilt für \(a \to -\infty\): \(\exp(ca) \to 0\). Wenn c negativ ist, geht das Argument der exp-Funktion gegen Unendlich, die Länge wird unendlich groß.

Für c=0 berechnet man direkt, dass die Länge gleich b-a ist.

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Also ich hatte mir jetzt folgendes für Aufgabe c) überlegt:

Wenn c>0 dann gilt für a→−∞: \(\exp(ca) \to 0\).
Und darauf folgt dann:

\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{c^{2}+1}}{c}\left(e^{c b}-0\right)=\frac{\sqrt{c^{2}+1}}{c} e^{c b} \).

Wenn c<0 dann gilt für a→−∞: \(\exp(ca) \to ∞\)
Und darauf folgt dann:

\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{c^{2}+1}}{c}\left(e^{c b}-e^{c a}\right) \rightarrow-\infty \).

Wenn c=0 dann gilt:

\( L\left(\left.\gamma\right|_{[a, b]}\right)=\sqrt{0^{2}+1} \cdot \frac{1}{0}\left(e^{0 \cdot b}-e^{0 \cdot a}\right) \)

was jedoch undefiniert ist.

Daraus würde dann folgen, dass der Grenzwert nur für c>0 existiert.


Kann man das so machen?

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Wenn c positiv ist, hast Du recht.

Wenn c negativ ist, ist der Grenzwert Plus Unendlich. (Natürlich kann eine "Länge" nicht negativ sein.)

Im Fall c=0 gilt Die Längenfornel nicht. Das Ergebnis für die Länge ist dann b-a.

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Okay, das habe ich verstanden. Danke!

Nun zu Aufgabe d)…

Ich glaub für diese Aufgabe muss ich folgende Gleichung des Kreises benutzen: x^2+y^2=r^2

Wenn man dann die Gleichung der Kurve in diese Gleichung des Kreises einstzt, erhält man folglich e^2ct=r^2.

Wenn ich dann nach t Umstellen, erhalte ich

t= (ln(r^2))/2c

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, muss ich t doch jetzt nur noch in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Doch wie berechne ich dann den Winkel.

Ich kenne folgende Formel, doch ich weiß nicht genau wie ich sie jetzt anwenden muss

\( \cos =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} \)

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Bemerkung: t=ln(r)/c

Der Winkel zwischen den beiden Kurven ist der Winkel zwischen den beiden Tangentenvektoren im Schnittpunkt. Du verwendest also die Formel für den cos mit den beiden Tangentenvektoren.

Übrigens das Ergebnis ist ganz einfach, Du kannst alles mit t rechnen, ohne dafür überall ln(r)/c einzusetzen.

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Okay, ich habe das jetzt mal durchgerechnet…

wenn ich mich jetzt nicht gerechnet habe dann kommt

cos (90°)=0 raus und der Schnittpunkt ist 0.

Stimmt das ?

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Das kann doch nicht stimmen. Die Aufgabe sagt doch schon dass die Kurve  j e d e n  Kreis schneidet. Der Nullpunkt liegt doch auf (fast) keinem Kreis.

Außerdem hast Du doch schon den Schnittpunkt richtig angegeben mit t=ln(r)/c.

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Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch….

Was wäre denn die richtige Lösung?

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Ich habe es jetzt nochmal in Ruhe durchgerechnet.

Jetzt komme ich auf

cos= 1/ sqrt(c^2+1)

Ist das jetzt richtig?

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... dann kommt cos (90°)=0 raus und der Schnittpunkt ist 0.
Stimmt das ?

wenn Ihr Euch Eure Skizze aus Aufgabenteil (a) anseht, dann solltet Ihr sehen, dass das nicht stimmen kann.

https://www.desmos.com/calculator/5oh0vue85k

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Ja das habe ich jetzt auch gemerkt :)

Ich habe es jetzt nochmal in Ruhe durchgerechnet.

Jetzt komme ich auf


cos= 1/ sqrt(c2+1)


Ist das jetzt richtig?

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Jetzt komme ich auf
cos= 1/ sqrt(c²+1)
Ist das jetzt richtig?

Ja!

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Supi, Dankeschön!