Zeigen Sie, dass die Bogenlänge von f gegeben ist durch S(φ) mit L(t, y, p) := √(r^2 + p^2)

Question

Aufgabe:

Es seien M := {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 = r^2} ein Zylinder mit Radius r > 0 und
A, B, a, b ∈ R mit 0 ≤ a < b ≤ π. Betrachtet werden Kurven
f : [a, b] → M , f (t) = (r cos t, r sin t, φ(t)) ,
welche die Punkte P1 := (r cos(a), r sin(a), A) und P2 := (rcos(b), r sin(b), B) in M verbinden.
Dabei sei die Parametrisierung φ der z-Koordinate aus der Menge
K = {φ ∈ C^2[a, b] | φ(a) = A, φ(b) = B} .
Zeigen Sie, dass die Bogenlänge von f gegeben ist durch S(φ) mit L(t, y, p) := √(r^2 + p^2) und bestimmen Sie
die Kurve mit minimaler Bogenlänge.
Hinweis: Sie dürfen annehmen, dass das Minimum existiert

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor, kann mir jemand ein Tipp geben, damit ich es dann lösen kann.

Comments

Hallo,

die Parametrisierung f für die Kurve ist Dir ja schon in der Aufgabe gegeben. Die Bogenlänge S erhält man durch:

$$S=\int_a^b\sqrt{r^2\sin(t)^2+r^2 \cos(t)^2+\phi'(t)^2}dt$$

$$=\int_a^b\sqrt{r^2+\phi'(t)^2}dt$$

Der Integrand ist in der Aufgabe mit L bezeichnet. Darauf sollst Du vermutlich die Euler-Lagrange-Gleichung anwenden.

Gruß Mathhilf