Bogenlänge - Definition und Berechnung

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Kurve \( k:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), definiert durch

\( k(t)=(\sin (t) \cos (15 t), \sin (t) \sin (15 t), \cos (t)) \)

(a) Wie ist die Bogenlänge \( \ell \) von \( k \) definiert?

(b) Berechnen Sie \( a \) und \( b \) derart, dass

\( \ell=\int \limits_{0}^{\pi} \sqrt{a+b \sin ^{2}(t)} d t . \)

Ansatz/Problem:

(a) Bei der a verstehe ich ehrlich gesagt die Aufgabenstellung nicht ganz. Die Definition der Bogenlänge l von k wäre hier ja:

$$ l :=\int_{0}^{\pi}  |\dot k|dt$$

Comments

Tipp:

b) Definition einsetzen und ausrechnen, dann die Argumente unter der Wurzel miteinander vergleichen und damit a und b ablesen.

Answer 1

a) \( L(k)=\int \limits_{0}^{\pi} \sqrt{ \dot{x} (t)^{2}+\dot{y}(t)^{2}+\dot{z}(t)^{2}} \)

b) \( x=\sin (t) \cos (15 t) \)

\( \begin{array}{l} \dot{x}=8 \cos (16(t))-7 \cos (14(t)) \\ y=\sin (t) \cdot \sin (15(t)) \\ \dot{y}=8 \sin (16(t))-7 \sin (14(t)) \\ z=\cos (t) \\ \dot{z}=-\sin (t) \end{array} \)

\( \rightarrow \) das Quadrat einsetzen und ausrechnen

\( \rightarrow \) die Argumente unter der Wurtel Sind \( z a \) vergleichen

\( \rightarrow a, ~ b \) ermitteln

Comments

Du hast für x' und y' angenehmere Werte raus als ich. Wenn ich das ganze quadriere erhalte ich für x'^2=225sin^2(t)sin(15t)+cos^2(t)cos^2(15t)..

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Das habe ich:

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Alles klar.

Letzte Frage. Meine Ableitungen sahen alle so aus:
$$\begin{pmatrix} cos(t)cos(15t)-15sin(t)sin(15t)\\15sin(t)cos(15t)+cos(t)sin(15t)\\-sin(t) \end{pmatrix}$$

Wie kamst du auf:

8cos(16t)-7sint
8sin(16t)-7sint

Irgendwie stehe ich da noch auf dem Schlauch. Sonst ist der Rest klar.

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die Ableitungen stimmen auch. Kannst damit weiterrechen.

Ich habe Additionstheoreme angewandt, was nicht unbedingt nötig ist.

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Alles klar. Habs jetzt mal mit meiner Ableitung gemacht. Die Wurzel wird zwar lang, aber ich komme aufs selbe Ergebnis wenn ich alles miteinander addiere (bzw. "kürze").

Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

Answer 2

$$ l:= \int_{0}^{π}|k '|dt$$
$$ = \int_{0}^{π}|\begin{pmatrix} sin(t)cos(15t)\\sin(t)sin(15t)\\cos(t) \end{pmatrix} '|dt$$
$$ = \int_{0}^{π}|\begin{pmatrix} cos(t)cos(15t)-15sin(t)sin(15t)\\15sin(t)cos(15t)+cos(t)sin(15t)\\-sin(t) \end{pmatrix} |dt$$

Jetzt wegen des Betrages: jede Komponente quadrieren , addieren und dann die Wurzel ziehen.
$$ = \int_{0}^{π}\sqrt { 225sin^2(t)+1 }dt$$

Also a=1 und b = 225