Gegeben ist die Parameterdarstellung einer Kurve in Kugelkoordinaten:
$$ \begin{pmatrix} \theta_0 + ( \theta_1 - \theta_0)t \\ φ_0 + (φ_1 - φ_0) t \\ r_0 + (r_1 - r_0)t \end{pmatrix} $$
Koordinaten gewählt wie hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten
Aufgabe:
Berechne die Bogenlänge für eine Bewegung von einem beliebigen Punkt $$ p_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \\ φ_0 \\ r_0 \end{pmatrix} $$ zu dem Punkt $$ p_1 = \begin{pmatrix} \theta_1 \\ φ_1 \\ r_1 \end{pmatrix} $$ (äquivalent zu t von 0 bis 1)
Problem/Ansatz:
Man bewegt sich also proportional in allen Koordinaten. Mein Ansatz war über das Integral der Teilstücke zu gehen also:
$$ L = \int \limits_{0}^{1} ds $$
$$ L = \int \limits_{0}^{1} \sqrt{ \dot r ^2 + r ^2 \dot φ ^2cos^2(\theta) + r^2 \dot \theta^2 } dt $$
Das gibt aber ein für mich analytisch nicht lösbares Integral.
Es handelt sich für mich um eine 3D Variante einer Archimedischen Spirale. Leider komme ich seit Tagen nicht weiter. Grundsächtlich sieht das ganze so einfach aus (nur lineare Beziehungen)
Findet ihr eine elegante Lösung?
