Aufgabe:
a) Wir betrachten die Kurven \( C_{1} \) und \( C_{2} \), gegeben durch die Parameterdarstellungen
\( \vec{c}_{1} :[1, \sqrt{e}] \rightarrow \mathbb{R}^{5} \)
\( \vec{c}_{1}(t) = \left( \ln(t), t, \frac{t^{2}}{2}, cos(t), \sin (t) \right)^{\top} \)
und
\( \vec{c}_{2}:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \vec{c}_{2}(t) = \left( \cos (t)+\cos ^{2}(t), \sin (t)+\sin (t) \cos (t)\right)^{\top} \)
Untersuchen Sie jeweils, ob es sich um eine reguläre Kurve handelt, und berechnen Sie die Bogenlängen.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Identität \( \left|\dot{\vec{c}}_{2}(t)\right|^{2}=2+2 \cos t=4 \cos ^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \).
b) Wir betrachten die Kurve \( C_{3} \), gegeben durch die Parameterdarstellung
\( \vec{c}_{3}(t):[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \),
\( \vec{c}_{3}(t) = \left( t-\sin (t), 1-\cos (t), 4 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)^{\top}\)
Bestimmen Sie die Parameterdarstellung nach der Bogenlänge.
Ansatz habe ich wie so oft keinen :(
