Question

Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardloide ((r,φ) sind die Polarkoordinaten)

r = r(φ) = 2a (1 + cos φ), 0 ≤ φ ≤ 2π, a > 0 fest.

Answer 1

Nach der gängigen Formel: Integral von phi1 bis phi2 über

wurzel (  r^2 +  (dr/dphi)^2 )  dphi  ist es hier

erst mal so:

wurzel(4a^2 (1 + cos(phi))^2 + ( 2a*sin(phi))^2   )

= wurzel(4a^2 (1 + 2cos(phi)+ cos(phi))^2) + 4a^2*sin^2(phi)      )

= 2a * wurzel( 2 + 2cos(phi) )

Und das dann integrieren von 0 bis 2pi gibt  4*wurzel(2).