Berechnen Sie die Bogenlänge der gesamten Kurve in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Bogenlänge der gesamten Kurve in Abhängigkeit von a.

Problem/Ansatz:

Für einen reellen Parameter a > 0 sei die Kurve

x:[0,2π]→R ,x(t)=(3a cos(t) + a cos(3t) , 3asin(t)+asin(3t) )

Egal wie ich herum rechne, ich komme immer auf eine Länge von 0. Da die Länge in Abhängigkeit von a berechnet werden soll, kommt mir meine Lösung etwas komisch vor. Vielleicht hat jemand eine zündende Idee

Comments

Formel:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/berechnung-der-bogenlaenge

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Der Bildbereich der Abbildung  x  ist natürlich nicht  R oder  ℝ , sondern  ℝ²  .

Answer 1

Aloha :)

Für die gegebene Kurve$$\vec r(t)=\begin{pmatrix}3a\cos(t)+a\cos(3t)\\3a\sin(t)+a\sin(3t)\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;2\pi]\;;\;a>0$$soll die Bogenlänge \(\ell\) bestimmt werden:$$\ell=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(2\pi)}dr=\int\limits_0^{2\pi}\frac{dr}{dt}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|dt=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\begin{pmatrix}-3a\sin(t)-3a\sin(3t)\\3a\cos(t)+3a\cos(3t)\end{pmatrix}\right\|dt$$$$\phantom\ell=3a\int\limits_0^{2\pi}\left\|\begin{pmatrix}-\sin(t)-\sin(3t)\\\cos(t)+\cos(3t)\end{pmatrix}\right\|dt$$$$\phantom\ell=3a\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(\sin(t)+\sin(3t))^2+(\cos(t)+\cos(3t))^2}\,dt$$$$\phantom\ell=3a\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\red{\sin^2(t)}+2\sin(t)\sin(3t)+\green{\sin^2(3t)}+\red{\cos^2(t)}+2\cos(t)\cos(3t)+\green{\cos^2(3t)}}\,dt$$$$\phantom{\ell}=3a\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{2+2\sin(t)\sin(3t)+2\cos(t)\cos(3t)}\,dt$$Die trigonometrischen Funktionen können wir umformen:$${\color{blue}\sin(t)}\sin(3t)={\color{blue}\sin(t)}\sin(t+2t)={\color{blue}\sin(t)}\sin(t)\cos(2t)\underline{+\sin(2t){\color{blue}\sin(t)}\cos(t)}$$$${\color{blue}\cos(t)}\cos(3t)={\color{blue}\cos(t)}\cos(t+2t)={\color{blue}\cos(t)}\cos(t)\cos(2t)\underline{-\sin(t)\sin(2t){\color{blue}\cos(t)}}$$

Bei der Addition heben sich die beiden unterstrichenen Terme weg:$${\color{blue}\sin(t)}\sin(3t)+{\color{blue}\cos(t)}\cos(3t)=\sin^2(t)\cos(2t)+\cos^2(t)\cos(2t)=\cos(2t)$$

Das heißt für unser Längen-Integral:$$\ell=3a\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{2+2\cos(2t)}\,dt=3a\int\limits_0^{2\pi}\pink{\sqrt{4\cos^2(t)}}\,dt=3a\int\limits_0^{2\pi}\pink{2|\cos(t)|}\,dt=24a$$

Bei dem pinken Rechenschritt ist dir vermutlich der Fehler passiert. Es gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). Wenn du die Betragszeichen hier weglässt, integrierst du die Cosinus-Funktion über eine volle Periode und erhältst dann natürlich \(0\) als Ergebnis.

Answer 2

hallo,

allgemein:

\( L=\int \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} \mathrm{~d} t \)

x:[0,2π]→R ,x(t)=(3a cos(t) + a cos(3t) , 3asin(t)+asin(3t) )

x= 3a cos(t) + a cos(3t)

x'= \( -3 a \sin (t)-3 a \sin (3 t) \)

y= 3a sin(t)+a sin(3t)

y'=  \( 3 a \cos (t)+3 a \cos (3 t) \)

eingesetzt und vereinfacht:

L= \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \sqrt{ 36 a^2 cos^2(t)} \) dt

 = \( \int\limits_{0}^{2 π} \) 6 |a| *| cos(t)| dt

Die Periode von |cos(t)|= ist π

\( =6 *a* 2*\int \limits_{0}^{\pi}|\cos (t)| d t \)

\( = 12 a \int \limits_{0}^{\pi}|\cos (t)| d t \)

cos(t) ist niemals positiv im Intervall \( \frac{π}{2} \) < t < \( \frac{3π}{2} \):

\( |\cos (t)|=-\cos (t) \)

 \( =-12 a \int \limits_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \cos (t) d t \)

 \( =\left.(-12 a \sin (t))\right|_{\pi / 2} ^{3 \pi / 2} \)

 =24 a

Comments

Super Lösung und plausibel. Welche Tricks hast du beim umformen verwendet? Irgendwelche á la cos(x)hoch2 + sin(x) hoch 2? Ich denke mal bei mir lag es am umformen

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Irgendwelche á la cos^2(x) + sin^2(x)?

Ja=1

Du mußt das Betragszeichen beachten.