Aufgabe:
Berechne die Bogenlänge der Kurve
\( c(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix} , 0 ≤ x(t) ≤ 5 \)
wobei \( x = x(t) \) und \( y = y(t) \) implizit durch \( y^2 = x^3 \) gegeben sind
Problem/Ansatz:
Die Bogenlänge allgemein für \( x(t) = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) ist ja bestimmt als \( s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{x'^2 + y'^2 } dt \), daher ich leite \( x \) und \( y \) ab, setze das ein und berechne das Integral. Wie funktioniert das jetzt aber wenn \( y \) von \( x\) abhängt?
Ich habe versucht für \( y \) die Gleichung umzustellen: \( y = ± \sqrt{ x^3 }, y' = \frac{3*\sqrt{x}}{2} \) und für \( x = x, x' = 1 \) zu verwenden, komme damit aber nicht auf eine Lösung für das Integral.
Mein zweiter Ansatz wäre die Gleichung nach dem Hauptsatz für implizite Funktionen abzuleiten. Daher:
\( F(x, y) = x^3 - y^2 \)
\( F_x = 3*x^2 \)
\( F_y = - 2*y \)
\( y'(x) = - \frac{F_x}{F_y} = \frac{3*x^2}{2*y} \)
aber da wüste ich nicht was ich als x' verwende.
