Zeige, dass die Folge In des Intervalls In:= [an,bn] folgendes erfüllt:

Question

Aufgabe:

Für alle 0<a<b definiert man a_n und b_n a₁ := a, b₁ := b, und a_n+1:= √a_nb_n und b_n+1:= (a_n+b_n)/2.

Zeige, dass die Folge I_n des Intervalls I_n:= [a_n,b_n] folgendes erfüllt:

- I_n+1  ⊂ I_n für alle n∈ℕ

-Für alle ε>0 existiert ein n∈ℕ so dass Ι I_n Ι (der absolut Wert)  <ε

Problem/Ansatz:

Ich finde überhaupt keinen Ansatz um die 2 Punkte zu beweisen, ich wäre sehr dankbar über einen Lösungsweg.

Answer 1

Ich finde überhaupt keinen Ansatz um die 2 Punkte zu beweisen, ich wäre sehr dankbar über einen Lösungsweg.

Zeige induktiv, dass für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 2}: b_n-a_n\leq 2^{-n}(b_1-a_1)\). Damit halbiert sich die Intervalllänge nach jeder weiteren Schachtelung.