Zeige, dass die Summe von an konvergiert, wenn die Summe von bn konvergiert

Question

Hallo,

Ich hätte eine Frage zum Thema Konvergenz.

Seien (a_n)_n∈N und (b_n)_n∈N Folgen positiver reeller Zahlen mit

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n/b_n = c > 0

Zeige, dass die ∑^∞_n=1 a_n genau dann konvergiert, wenn ∑^∞_n=1 b_n Konvergiert.

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe!

Grüße

Answer 1

Benutze, dass auch \(b_n/a_n\) konvergiert, und zwar gegen \(1/c>0\).

Daher sind die Folgen \(a_n/b_n\) und \(b_n/a_n\) beschränkt.

Damit solltest du weiterkommen, indem du das

Majorantenkriterium anwendest.

Comments

Wie wendet man das denn genau an?

LG

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Wie lange hast du darüber nachgedacht ? ;-)

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Ich will nur wissen wie man das genau anwendet.^^

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Wenn du 2 Stunden Geduld hast, werde ich das genauer
ausführen.

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\(a_n/b_n\) konvergent, also beschränkt, \(K\) obere Schranke:

\(a_n/b_n< K\; \forall n \in N\), folglich

\(\sum a_n=\sum (a_n/b_n)\cdot b_n < \sum K\cdot b_n=K\cdot \sum b_n\).

Das Majorantenkriterium liefert also:

\(\sum b_n\) konvergent \( \;\Rightarrow \sum a_n\) konvergent,

analog umgekehrt.

Answer 2

Aufgrund von \(\lim_{n\to\infty}\frac {a_n}{b_n} = c>0\) weißt du, dass von einem Index N an gilt

$$\frac c2 < \frac {a_n}{b_n}  < \frac{3c}2 \text{ für alle }n \geq N$$

Dass heißt da b_n positiv sind:

$$\frac c2 b_n< a_n < \frac{3c}2 b_n \text{ für alle }n \geq N$$

Also

$$\frac c2 \sum_{n=N}^{\infty}b_n<  \sum_{n=N}^{\infty}a_n < \frac{3c}2 \sum_{n=N}^{\infty}b_n $$

Der Rest ist Majoranten-Minoranten-Folklore. Fertig.