Konvergenz/Grenzwert von rekursiver Folge

Question

Aufgabe:

Die rekursiv definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) sei gegeben durch
\( a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{3+5 a_{n}}{20} \quad(n \in \mathbb{N}) . \)
1. Zeigen Sie, dass \( a_{n}>\frac{1}{5} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist.
2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) streng monoton fallend ist.
3. Folgern Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe schon, dass das gegen 3/20 konvergiert und das a_n immer kleiner wird, jedoch weiß ich nicht wie ich das aufschreiben soll. Bei dem dritten Aufgabenteil hätte ich vielleicht eine Idee aber 1 und 2 kann ich nicht in "mathematische Worte" fassen

Answer 1

Hallo

a) a1>1/5 . Induktion a_n>1/5 daraus folgern a_n+1>1/5

b)rechne nach, dass a_n+1/a_n<1 ist

c, wenn die Folge gegen g konvergiert, dann konvergiert a_n und a_n+1 gegen g, du setzt g für a_n+1 und a_n ein und rechnest es aus

sie konvergiert NICHT gegen 3/20 wenn du an a) denkst ist das klar.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Wir untersuchen die Folge:$$a_{n+1}=\frac{3+5a_n}{20}\quad;\quad a_1=1$$

zu (1) Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass \((a_n>\frac15)\) gilt. Die Verankerung ist klar, da \(a_1=1\) gilt. Im Induktionsschritt finden wir:$$a_n>\frac15\implies5a_n>1\implies3+5a_n>4\implies\frac{3+5a_n}{20}>\frac{4}{20}\implies a_{n+1}>\frac15\quad\checkmark$$Daher gilt \((a_n>\frac15)\) für alle \(n\in\mathbb N\).

zu (2) Nach (1) ist \((a_n>\frac15)\) bzw. \((-a_n<-\frac15)\). Damit betrachten wir die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgendwerte:$$a_{n+1}-a_n=\frac{3+5a_n}{20}-a_n=\frac{3}{20}+\frac{a_n}{4}-a_n=\frac{3}{20}-\frac34a_n<\frac{3}{20}-\frac34\cdot\frac15=0$$Daher ist \(a_{n+1}<a_n\) für alle \(n\in\mathbb N\), d.h. die Folge ist streng monoton fallend.

zu (3) Wegen der Monotonie ist die Folge beschränkt, denn für alle \(n\in\mathbb N\) gilt:$$1=a_1\ge a_n>\frac15$$Da jede beschränkte und monotone Folge konvergiert, trifft dies auf \((a_n)\) zu.

Daher existiert der Grenzwert \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}\), und es gilt:$$a=\frac{3+5a}{20}\implies20a=3+5a\implies15a=3\implies a=\frac15$$Der Grenzwert der Folge ist also \(\frac15\).