Zeigen Sie, für alle n ∈ N (natürliche Zahlen) ist an > 3 / Konvergenz rekursiver folge

Question

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand sagen, wie man diese Aufgaben löst? Ich bin am verzweifeln..

Text erkannt:

Aufgabe 4 ((Konvergenz rekursiv definierter Folgen), \( 2+3+3+2=10 \) Punkte). Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) sei gegeben durch
$$ a_{n+1}=\frac{a_{n}}{3}+2, \quad n=0,1,2, \ldots $$
mit dem Startparameter \( a_{0}=\pi \)
1. Zeigen Sie, für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( a_{n}>3 \).
2. Zeigen Sie \( a_{n} \) is monoton fallend, das heißt \( a_{n+1}-a_{n}<0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
3. Nach 1. und 2. wissen wir nun, dass \( a_{n} \) konvergiert. Zeigen Sie, dass \( x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) die Gleichung
$$ x=\frac{x}{3}+2 $$
erfüllt.
4. Bestimmen Sie den Grenzwert
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} $$

Wäre euch unendlich dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Wenn wir schon mal so eine schöne Bedienungsanleitung zur Analyse der Folge$$a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2\quad;\quad a_0=\pi$$vorgegeben haben, solllten wir diese auch genau so nutzen.

Schritt 1) Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass \(a_n>3\) für alle \(n\in\mathbb N\).

Wegen \(a_0=\pi>3\) ist die Verankerung bei \(n=0\) klar. Der Induktionsschritt ist nun:$$a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2=\frac{1}{3}\cdot a_n+2\stackrel{(\text{Ind.Vor.:} a_n>3)}>\frac{1}{3}\cdot 3+2=3\quad\checkmark$$

Schritt 2) Wir zeigen, dass \(a_n\) monoton fällt. Nach Schritt 1 ist \(a_n>3\) bzw. \(-a_n<-3\):$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{3}+2-a_n=2-\frac{2}{3}a_n=2+\frac{2}{3}\cdot(-a_n)<2+\frac{2}{3}\cdot(-3)<2-2=0$$Die Folge \((a_n)\) ist also sogar streng monoton fallend.

Schritt 3) Nach Schritt 1 ist die Folge nach unten durch \(3\) beschränkt. Nach Schritt 2 ist die Folge streng monoton fallend, d.h. insbesondere \(a_n\le a_0=\pi\). Da jede beschränkte, monotone Folge konvergiert, tut uns auch \((a_n)\) diesen Gefallen. Für den Grenzwert \(x\) finden wir:$$\left.a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left. \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{3}+2\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left. \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{3}+2\quad\right|x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$x=\frac{x}{3}+2$$

Schritt 4) Zur Bestimmung des Grenzwertes lösen wir die gerade gefundene Gleichung:$$\left.x=\frac{x}{3}+2\quad\right|-\frac{x}{3}$$$$\left.\frac{2x}{3}=2\quad\right|\cdot3$$$$\left.2x=6\quad\right|\colon2$$$$x=3$$Also ist \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=3\).

Comments

Hdgdl vielen dank für die Antworten, du bist die beste!