Problem:
Kann mir bitte jemand sagen, wie man diese Aufgaben löst (Siehe Bild)? Ich bin am verzweifeln..
Text erkannt:
Aufgabe 3. \( (2+2+3+3) \) Indem man ein Tupel reeller Zahlen \( \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \) als Tupel komplexer Zahlen \( \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n} \) auffasst lässt sich \( \mathbb{R}^{n} \) auf natürliche Art und Weise in \( \mathbb{C}^{n} \) einbetten. Oder anders gesagt ist \( \mathbb{R}^{n} \subseteq \mathbb{C}^{n} \) ist die Teilmenge der Tupel komplexer Zahlen, deren Imaginärteile alle verschwinden. Der Einheitskreis
$$ K_{\mathbb{R}}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2} $$
ist dabei der Schnitt der Menge
$$ K_{\mathbb{C}}=\left\{(x, y) \in \mathbb{C}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \subseteq \mathbb{C}^{2} $$
mit \( \mathbb{R}^{2} \). Es sei
$$ p: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}:(x, y) \rightarrow x $$
die Projektion auf die erste Komponente. Für eine Teilmenge \( M \subseteq \mathbb{C}^{2} \) bezeichnen wir mit
$$ \left.p\right|_{X}: X \rightarrow \mathbb{C} $$
die Einschränkung der Abbildung \( p \) auf die Menge \( X \).
1. Bestimmen Sie \( p\left(K_{\mathbb{R}}\right) \).
2. Bestimmen Sie \( p\left(K_{\mathbb{C}}\right) \).
3. Bestimmen Sie für alle \( x \in p\left(K_{\mathbb{R}}\right) \) die Anzahl der Urbilder von \( x \) unter \( p \) in \( K_{\mathbb{R}} \), also
$$ \#\left(\left(\left.p\right|_{K_{\mathrm{R}}}\right)^{-1}(\{x\})\right) $$
4. Bestimmen Sie für alle \( x \in p\left(K_{\mathrm{C}}\right) \) die Anzahl der Urbilder von \( x \) unter \( p \) in \( K_{\mathrm{C}} \), also
$$ \#\left(\left(\left.p\right|_{K_{\mathrm{C}}}\right)^{-1}(\{x\})\right) . $$
Wäre euch unendlich dankbar!
