Gleichungssystem aufstellen, damit die folgende Gleichung erfüllt ist: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = an^3+bn^2+cn ∀ n∈ℕ

Question

Ich hoffe jemand kann mir hier weiter helfen:

Es gibt a,b,c∈ℝ mit denen die folgende Gleichung erfüllt ist:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = an^3+bn^2+cn ∀ n∈ℕ

Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, mit dem Sie die Koeffizienten a,b,c bestimmen können.
Problem/Ansatz:

Ich vestehe hier leider nicht wie ich das machen soll. Wenn ich ja ein LGS Aufstellen soll müsste ja dann

 a +b +c = etwas stehn ... und mir ist auch klar, dass ich dann 3 verschiedene Gleichungen benötige. Aber ich weiß nicht wie ich das ablesen soll :r

Ich bedanke mich für jede Antwort/Erklärung und wüsche noch ein schönes Wochenende! :))

Answer 1

Es ist ja vorausgesetzt, dass es solche a,b,c gibt.

Also nimmst du etwa für n=1

a+b+c = 1

und für n=2

8a + 4b + 2c = 1+2^2 = 5

und für n=3

27a + 9b + 3c = 1 +2^2 + 3^2 = 14

Mit den drei Gleichungen bekommst du

a,b,c heraus und bist fertig.

Gibt  (1/3) n^3 + (1/2)n^2 + (1/6)n

Das ist eine bekannte Formel für die

Summe der n ersten Quadratzahlen.

https://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle02/summen3.htm

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Achso! Vielen Dank für die Erklärung und auch für den Link! :)

Answer 2

Wenn es Zahlen a, b, c gibt, für die 1² + 2² + 3² + ... + n² = an³+bn²+cn gilt, dann müsste für die selben Zahlen a, b, c auch 1² + 2² + 3² + ... + n²+(n+1)² = a(n+1)³+b(n+1)²+c(n+1) gelten.

Subtrahiere diese beiden Gleichungen voneinander. Du erhältst

(n+1)²=a(3n²+3n+1)+b(2n+1)+c

Multipliziere beide Seiten aus, sortiere nach Potenzen von n und mache einen Koeffizientenvergleich.

Das entstehende GS

n²=3an²

2n=(3a+2b)n

1=a+b+c

führt dich zur Lösung.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! :)