Wie beweist man folgende Aussage zu den Folgen (an) gegen (bn) folgt (cn)?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Wenn die Folgen (an)n∈N gegen x ∈ R und (bn)n∈N gegen y ∈ R konvergieren,
so konvergiert die Folge (cn)n∈N mit cn := an · bn gegen x · y.

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen:$$(a_n)\to a\text{ und }(b_n)\to b\quad\implies\quad (a_nb_n)\to ab$$

Schritt 1: Zeige, dass eine konvergente Folge stets beschränkt ist.

Da \((a_n)\to a\), gibt es ein \(n_0\), sodass \(|a_n-a|<1\) für alle \(n\ge n_0\). Das heißt:$$|a_n|=|a+a_n-a|\le|a|+|a_n-a|\le|a|+1\quad;\quad n\ge n_0$$Sei \(M_a:=\max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{n_0-1}|, (|a|+1)\}\), dann gilt \(|a_n|\le M_a\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

Schritt 2: Zeige die Konvergenz der Produktfolge und ihren Grenzwert.

Nach Schritt 1 sind \((a_n)\) und \((b_n)\) beschränkt, d.h.$$|a_n|\le M_a\quad;\quad |b_n| \le M_b\quad\text{für alle }n\in\mathbb{N}$$Wir setzen \(M\coloneqq\max\{M_a,M_b\}\). Wegen der Konvergenz der Folgen gibt es zu jedem \(\varepsilon>0\) natürliche Zahlen \(n_a\) und \(n_b\), sodass$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2M}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_a\quad;\quad |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2M}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_b$$Für alle \(n>=\max\{n_a,n_b\}\) gilt dann:$$|a_nb_n-ab|=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b|\le|a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}<M\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{\varepsilon}{2M}M=\varepsilon\quad\checkmark$$