Konvergieren die reellen Funktionen |an| und bn * cn für jede mögliche Wahl der Folgen nach gegebener Vorgabe?

Question

(a_n)_n∈ℕ,(b_n)_n∈ℕ seien reelle Folgen mit

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = a∈(0,∞), \( \lim\limits_{n\to\infty} \) b_n = 0, \( \lim\limits_{n\to\infty} \) c_n = + ∞

Ich soll nun zeigen, welche der nachfolgenden Folgen im Allgemeinen (d.h. für jede mögliche Wahl der Folgen nach obigen Vorgaben) konvergieren und welche nicht. Falls es eine Konvergenz ist soll man auch den Grenzwert mit angeben.

         |a_n|,      b_n * c_n  

Ich habe einen Satz gefunden der besagt dass |a_n| konvergent ist wenn a_n konvergent ist. Meine Vermutung ist hier dass a_n divergent ist weil a∈(0,∞) ja kein eindeutiger Grenzwert ist. Das kommt mir aber zu "einfach" vor, kann das sein?

Für die zweite Folge habe ich ja dann im Grunde "0" * "+∞" da stehen und weiß nicht so ganz was ich daraus machen soll.

Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Answer 1

bn*cn konvergiert im Allgemeinen nicht, dafür nimm einfach zwei belibige Folgen bn=1/n kvgt gegen 0 und cn=n^2 "kvgt" gegen unendlich, dann ist aber bn*cn=n und das konvergiert gegen unendlich also divergiert.

Naja dein GW für an exestiert ja, dein a element (0;unendlich) bedeutet ja nur, dass a eine beliebige postive Zahl ungleich 0 ist. Und wenn dein Satz so lautet, dann kvgt die Folge IanI

Comments

Macht sehr viel Sinn :)

Vielen Dank