Logarithmische Spirale und Kurvenintegral

Question

Aufgabe:

a) Skizzieren Sie die logarithmische Spirale
\( \vec{c}:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad t \mapsto e^{-t}\left(\begin{array}{l} \cos t \\ \sin t \end{array}\right)\right.\right. \)
und berechnen Sie deren Länge.
b) Berechnen Sie das Kurvenintegral der Funktion \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, F(\vec{x})=\|\vec{x}\|^{2} \) längs \( \vec{c} \)

Problem/Ansatz:

Würde mich über eine Hilfe sehr freuen !

Answer 1

\( c(t)= e^{-t}\left(\begin{array}{l}\cos t \\\sin t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}e^{-t}\cos t \\e^{-t}\sin t\end{array}\right)\)  ==>(Produktregel)

\( c ' (t)=\left(\begin{array}{l}-e^{-t}(\cos t+\sin t) \\e^{-t}(\cos t -\sin t)\end{array}\right)\)

==>  \( ||c ' (t)||=   \sqrt{e^{-2t}(\cos t+\sin t)^2+e^{-2t}(\cos t-\sin t)^2} \)

 \( =\sqrt{2e^{-2t}}=\sqrt{2}e^{-t}\)  (Bedenke cos^2(t)+sin^2(t)=1. )

Für die Länge erst mal Integral von 0 bis z, das gibt \( \sqrt{2}(1-e^{-z})\)

und für z gegen unendlich also √2.