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Aufgabe:

a) Skizzieren Sie die logarithmische Spirale
c : [0,[R2,tet(costsint) \vec{c}:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad t \mapsto e^{-t}\left(\begin{array}{l} \cos t \\ \sin t \end{array}\right)\right.\right.
und berechnen Sie deren Länge.
b) Berechnen Sie das Kurvenintegral der Funktion F : R2R,F(x)=x2 F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, F(\vec{x})=\|\vec{x}\|^{2} längs c \vec{c}

Problem/Ansatz:

Würde mich über eine Hilfe sehr freuen !

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c(t)=et(costsint)=(etcostetsint) c(t)= e^{-t}\left(\begin{array}{l}\cos t \\\sin t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}e^{-t}\cos t \\e^{-t}\sin t\end{array}\right)  ==>(Produktregel)

c(t)=(et(cost+sint)et(costsint)) c ' (t)=\left(\begin{array}{l}-e^{-t}(\cos t+\sin t) \\e^{-t}(\cos t -\sin t)\end{array}\right)

==>  c(t)=e2t(cost+sint)2+e2t(costsint)2 ||c ' (t)||= \sqrt{e^{-2t}(\cos t+\sin t)^2+e^{-2t}(\cos t-\sin t)^2}

 =2e2t=2et =\sqrt{2e^{-2t}}=\sqrt{2}e^{-t}  (Bedenke cos^2(t)+sin^2(t)=1. )

Für die Länge erst mal Integral von 0 bis z, das gibt 2(1ez) \sqrt{2}(1-e^{-z})

und für z gegen unendlich also √2.

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