Parametrisierung Parabelstück Kurvenintegral 1. Art?

Question

Skizzieren Sie für die Parabel y²=4x dasjenige Bogenstück für das x<=1 gilt und berechnen Sie seine Länge.

Ich weiß eigentlich wie die Aufgabe funktioniert und hab für die Parametrisierung γ: [a,b] ∋ t →(t²,2t) ∈ ℝ² allerdings weiß ich nicht wie ich die Grenzen a,b wählen soll. Sind das einfach die Grenzen 0 bis 1 weil das Parabelstück da ist oder wie wählt man diese Grenzen?

Vielen Dank für jede Erklärung. Die Länge berechnen mit der Formel kann ich dann selbst

Comments

Wenn Du \(t\in [0,1]\) wählst, läuft Deine Kurve von \((0,0)\) bis \((1,2)\).

Da das den gewünschten Abschnitt liefert, ist das ok.

Eine andere Parametrisierung wäre \((t,2\sqrt{t})\), auch da würde \(t\in [0,1]\) passen.

Das Einsetzen des ersten \(t\) muss den Anfangspunkt der Kurve liefern, das des letzten den Endpunkt.

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Deine beiden Parametrisierungen liefern nur den Teil des Parabelstücks, der im 1. Quadranten verläuft.

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Stimmt, hab \(y\le 0\) übersehen. Danke.

Answer 1

Hast du das Parabelstück mal geplottet?

Du hast faktisch \( x \) als Funktion von \(y\) gegeben:

\(x=f(y) = \frac 14y^2\)

Damit ergibt sich auch sofort die Parametrisierung \(y=t\).

Du musst nur noch die folgende Ungleichung lösen:

\(x\leq 1 \Leftrightarrow \frac 14 y^2 \leq 1 \Leftrightarrow |y|\leq 2 \)

Damit gilt für deinen Parameter \(y=t \in [-2,2]\).

Den Rest kannst du ja, wie du sagtest.

Nachtrag wegen Kommentar:

Deine vorgegebene Parametrisierung ergibt sich, wenn du

statt \(y= t\) mit \(t\in[-2,2]\) einfach \(y=2t\) mit \(t\in [-1,1]\) nimmt.

Ist das wirklich so schwer?

Comments

Danke für deine Antwort!

Das verstehe ich jetzt aber nicht so...Ich sollte auch vorgegeben mit der Parametrisierung gamma(t)=(t²,2t) arbeiten. Wenn ich dann [-2,2] wähle dann würden doch der Anfangspunkt (-2)²=4 und 2*2=4 als Endpunkt rauskommen aber der Anfang ist doch 0,0 und Ende bei 1,2 und 1,-2

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Poste die Aufgabe mal im Original.

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Skizzieren Sie für die Parabel y²=4x dasjenige Bogenstück für das x<=1 gilt und berechnen Sie seine Länge. Eine Parametrisierung ist durch γ: [a,b] ∋ t →(t²,2t) ∈ ℝ mit geeigneten Intervallgrenzen a und b gegeben. Berechnen Sie auch das Kurvenintegral 1. Art für die skalare Funktion f:[-1,∞]×ℝ→ℝ, f(x,y)=(y/2)² * √(1+x).

Die Berechnungen der Länge und des Kurvenintegrals kann ich von der Vorgehensweise her, es geht mir nur um die Grenzen a und b wie die gewählt werden müssen, da die Funktion ja sowohl im positiven als auch im negativen liegt und die Parametrisierung t²,2t vorgegeben ist

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@Martinbach326
Ich hab die Antwort entsprechend ergänzt.

Aus deinem ursprünglichen Post ging für mich nicht klar hervor, dass du eine schon vorgegebene Parametrisierung hattest.

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Eine Kurve hat nicht einen Anfang und zwei Enden (auch die hier nicht). Sie hat genau einen Anfang und genau ein Ende. Und das passt genau zu dem von trancelocation genannten Intervall.

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Ja ich verstehe das einfach nicht, habe mir schon viele Erklärungen dazu angeschaut.

Aber danke für die Antwort, dann werde ich damit arbeiten

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Du brauchst nur eines nachschauen: die Def. einer Kurve \(\varphi\).

\(\varphi: [a,b]\rightarrow \R^2\) stetig, mit Anfangspunkt \(\varphi(a)\) und Endpunkt \(\varphi(b)\). Steht sicher auch so in Deinen Unterlagen.

Die Funktion heißt "Kurve". Das, was man zeichnet, ist streng genommen der Graph einer Kurve.

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@Martinbach...

Hier ist ein Link zur Verdeutlichung der Parametrisierung. Schiebe das t dort von 1 bis -1, um zu sehen, wie sich der Punkt entlang der Kurve bewegt.