Aufgabe:
Gegeben sei das Vektorfeld F: R>-1 x R^2 -> R^3 , F(x,y,z) = (ln(x+1) , e^(3x+z) , y) . Berechnen Sie das Kurvenintegral für folgende Kurve : gamma : [0,2pi] -> R^3 , gamma(t)= ( cos(t) , 4sin(t) , 2-12cos(t)+4sin(t)).
Problem/Ansatz:
Ich habe das Ganze versucht mittels der Formel für das Kurvenintegral 2. Art zu berechnen (Integral F(gamma(phi)*gradgamma(phi)dphi. Wenn es allerdings ans Integrieren geht, komme ich auf eine Funktion welche nicht integrierbar ist. Ich weiß allerdings nicht, wo mein Fehler liegt. Weiß jemand wie die Aufgabe geht und könnte mir die Rechenschritte aufzeigen? Aufgabe a) habe ich komplett gelöst sowie Integral Gds bei der b)
Text erkannt:
a) Gegeben seien die Vektorfelder
\( \begin{array}{l} F: \mathbb{R}_{>-1} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} \ln (x+1) \\ e^{3 x+z} \\ y \end{array}\right) \\ G: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad G(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 2 x e^{x^{2}+y} \\ e^{x^{2}+y}+\cos (z) \\ -y \sin (z)+\cos (z) \end{array}\right) . \end{array} \)
Überprüfen Sie jeweils mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, ob ein Potential existiert, und bestimmen Sie dieses gegebenfalls.
b) Berechnen Sie \( \int \limits_{\gamma} F d s \), und \( \int \limits_{\gamma} G d s \) für folgende Kurve
\( \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad \gamma(\phi)=\left(\begin{array}{c} \cos \phi \\ 4 \sin \phi \\ 2-12 \cos \phi+4 \sin \phi \end{array}\right) . \)
