Kurvenintegral Anwendung auf Massepunkt

Question

Text erkannt:

Durch das Vektorfeld
\( \begin{aligned} \vec{K}: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ (x, y) & \mapsto \vec{K}(x, y)=\binom{2 x y}{y^{2}+2} \end{aligned} \)
werde ein Kraftfeld beschrieben. Ein Massenpunkt der Masse \( m=1 \) werde entlang einer Kurve \( \Gamma \subset \mathbb{R}^{2} \) vom Punkt \( (0,0) \) zum Punkt \( (0,2) \) durch das Kraftfeld bewegt. Dabei ist eine Parameterdarstellung der Kurve \( \Gamma \) gegeben durch

Skizzieren Sie die Kurve \( \Gamma \) und berechnen Sie die vom Kraftfeld am Massenpunkt geleistete Arbeit, indem Sie die Summe der Integralwerte
\( \int \limits_{0}^{2} \vec{K}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{x}^{\prime}(t) d t+\int \limits_{2}^{2+\frac{\pi}{2}} \vec{K}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{x}^{\prime}(t) d t \)
bestimmen.
\( \begin{array}{l} \vec{x}:\left[0,2+\frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ t \mapsto \vec{x}(t)=\left\{\begin{array}{cc} \binom{t}{0} & \text { für } t \in[0,2) \\ \binom{2 \cdot \cos (t-2)}{2 \cdot \sin (t-2)} & \text { für } t \in\left[2,2+\frac{\pi}{2}\right] \end{array} .\right. \end{array} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich helfe Kommilitonen beim lernen für ihre Mathe Klausur, aber für diese Aufgabe habe ich wirklich absolut keinen Ansatz (wir sind Chemie Studenten). Kann mir eventuell jemand die Aufgabe Schritt für Schritt lösen, meistens kann ich es dann nachvollziehen.

Comments

Erstes Teilintegral ist ziemlich offensichtlich 0.

Zweites Teilintegral mit \(u=t-2\) auf das Intervall \([0,\pi/2]\) umparametrisieren.

Answer 1

Wieso Ansatz? Da steht ja, was zu tun ist:

Kurve skizzieren (notfalls ein paar Werte einsetzen und verbinden, dann sollte es klar sein, Malen nach Zahlen).

Integrale ausrechnen: Vektorfeld und Kurve einsetzen, Skalarprodukt ausrechnen und dieses jeweils integrieren.

Ihr sollt die Aufgabe lösen, die ist ja schon für Nichtmathematiker formuliert. Nachvollziehen von Lösungen ist nicht lösen.

Answer 2

Hallo

das 2 te Integral ist etwas komplizierter, deshalb das. x(t)=2cos(t-2), 2sin(t-2) das ist ein Viertel Kreisbogen mit Kreis um 0 mit Radius 2 der bei (2,0) anfängt und bei (0,2) endet

x'=(2sin(t-2),-2cos(t-2) ), Skalarprodukt mit dem Vektorfeld längs des Weges: x,y in das Feld einsetzen K(x)= (2*2cos(t-2)*2sin(t-2), 2sin^2(t-2)+2)

jetzt das Skalarprodukt: K(x(t))*x'(t)= 16cos(t-2)sin^2)t-2)-16sin^2(t-2)cos(t-2)-4cos(t-2)=-4cos(t-2) das jetzt von 2 bis 2+π/2 inteegrieren sollte man auch als Chemiker können, entsprechend das erste Integral mit dem einfachen x'=(1,0) K(x)=(0,2)

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

Der Massenpunkt bewegt sich durch das Kraftfeld$$\vec K(x;y)=\binom{2xy}{y^2+2}$$entlang eines Weges \(\Gamma\), der sich in 2 Etappen aufteilt:$$\Gamma_1\colon\vec r_1(t)=\binom{t}{0}\quad;\quad t\in[0;2)$$$$\Gamma_2\colon\vec r_2(t)=\binom{2\cos(t-2)}{2\sin(t-2)}\quad;\quad t\in\left[2;2+\frac\pi2\right]$$

Entlang der Etappe \(\Gamma_1\) leistet das Kraftfeld an dem Massenpunkt die Arbeit:$$W_1=\int\limits_{\vec r_1(0)}^{\vec r_1(2)}\vec K\,d\vec r_1=\int\limits_{t=0}^2\vec K(x_1(t);y_1(t))\cdot\frac{d\vec r_1(t)}{dt}\,dt=\int\limits_{t=0}^2\vec K(t;0)\cdot\binom{1}{0}\,dt$$$$\phantom{W_1}=\int\limits_{t=0}^2\binom{2\cdot t\cdot 0}{0^2+2}\cdot\binom{1}{0}\,dt=\int\limits_{t=0}^2\binom{0}{2}\cdot\binom{1}{0}\,dt=\int\limits_{t=0}^20\,dt=0$$

Entlang der Etappe \(\Gamma_2\) leistet das Feld die Arbeit:$$W_2=\int\limits_{\vec r_2(2)}^{\vec r_2(2+\frac\pi2)}\vec K\,d\vec r_2=\int\limits_{t=2}^{2+\frac\pi2}\vec K(x_2(t);y_2(t))\cdot\frac{d\vec r_2(t)}{dt}\,dt$$$$\phantom{W_2}=\int\limits_{t=2}^{2+\frac\pi2}\binom{2\cdot2\cos(t-2)\cdot2\sin(t-2)}{(2\sin(t-2))^2+2}\cdot\binom{-2\sin(t-2)}{2\cos(t-2)}\,dt$$

Substituiere \(u\coloneqq t-2\) mit \(du=dt\) und achte auf die Integrationsgrenzen:$$\phantom{W_2}=\int\limits_{u=0}^{\pi/2}\binom{2\cdot2\cos u\cdot2\sin u}{4\sin^2u+2}\cdot\binom{-2\sin u}{2\cos u}\,du$$

Nun multipliziere das Skalarprodukt aus:$$\phantom{W_2}=\int\limits_{u=0}^{\pi/2}(-16\,\cos u\,\cdot\sin^2 u+8\,\cos u\,\sin^2u+4\,\cos u)\,du$$$$\phantom{W_2}=-8\int\limits_{u=0}^{\pi/2}\cos u\,\cdot\sin^2 u+4\int\limits_{i=0}^{\pi/2}\cos u\,du$$

Jetzt erkennst du sicher, dass \(\cos u\) die Ableitung von \(\sin u\) ist, wendest im Kopf die Kettenregel zum Ableiten "rückwärts" an und hast dann den Term \(\frac13\sin^3u\) als eine Stammfunktion für das erste Integral vor Augen. Wenn du das nicht direkt siehst, kannst du \(s\coloneqq\sin u\) substituieren.$$\phantom{W_3}=-8\left[\frac13\sin^3u\right]_{u=0}^{\pi/2}+4\left[\sin u\right]_{u=0}^{\pi/2}=-\frac83\cdot\left(1-0\right)+4\cdot\left(1-0\right)=\frac43$$

Insgesamt leistet das Kraftweld entlang des Weges \(\Gamma\) also die Arbeit:$$W=W_1+W_2=0+\frac43=\frac43$$