Stoppzeiten und Filtrationen

Question

Aufgabe:

Seien \( \sigma, \tau \) Stoppzeiten bezüglich der Filtration \( \left(\mathcal{F}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

(a) Zeigen Sie, dass

\( \mathcal{F}_{\tau}=\left\{A \in \mathcal{A}: A \cap\{\tau \leq n\} \in \mathcal{F}_{n} \text { für alle } n \in \mathbb{N}\right\} \)

eine \( \sigma \)-Algebra ist.

(b) Zeigen Sie: Gilt zusätzlich \( \sigma \leq \tau \), dann folgt \( \mathcal{F}_{\sigma} \subseteq \mathcal{F}_{\tau} \).

Lösung:

(b) zz: \( \sigma \leq \tau \Rightarrow \mathcal{F}_{\sigma} \subseteq \mathcal{F}_{\tau} \).

Sei \( A \in \mathcal{F}_{\sigma} \), es gilt

\( A \cap \underbrace{\{\tau \leq n\}}_{\subset\{\sigma \leq n\}}=\underbrace{A \cap\{\sigma \leq n\}}_{\in \mathcal{F}_{n} \text {, da } A \in \mathcal{F}_{\sigma}} \cap \underbrace{\{\tau \leq n\}}_{\in \mathcal{F}_{n}} \in \mathcal{F}_{n} . \)

Also \( A \in \mathcal{F}_{\tau} \) und damit \( \mathcal{F}_{\sigma} \subset \mathcal{F}_{\tau} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe (b). Wir sagen, dass für die Stoppzeiten gilt \( \sigma \leq \tau \). Das müsste doch heißen, dass alle Elemente in \(\{\sigma \leq n\}\) auch in \(\{\tau \leq n\}\) liegen, aber nicht alle Elemente in \(\{\tau \leq n\}\) auch in \(\{\sigma \leq n\}\) liegen. Wieso sagen wir dann direkt im ersten Schritt der Lösung von (b), dass \(\{\tau \leq n\}\) eine Teilmenge von \(\{\sigma \leq n\}\) ist? Müsste das nicht genau andersherum sein?

Comments

Die Lösung ist schon richtig: Wenn \( \rho ( \omega ) \leqslant n \), dann gilt auch \( \sigma ( \omega ) \leqslant n \), also
\(\begin{aligned}   \{ \omega \colon \rho ( \omega ) \leqslant n \} \subset \{ \omega \colon \sigma ( \omega ) \leqslant n\} \end{aligned}\)

Answer 1

Nein, das passt schon so. Wenn das Ereignis \(\{\sigma \leq n\}\) eingetreten ist, muss nicht auch \(\{\tau \leq n\}\) eingetreten sein. Die größere Stoppzeit \(\tau\) kann ja das \(n\) überschreiten. Wenn aber \(\tau \leq n\) erfüllt ist, dann ist definitiv auch \(\sigma \leq n\). Deshalb gilt \(\{\tau \leq n\}\subset\{\sigma \leq n\}\).

Beachte, dass es sich bei den angegebenen Mengen um Ereignisse handelt.

Comments

Vielleicht verstehe ich das Konzept von Stoppzeiten falsch. Wenn ein Ereignis A zum Zeitpunkt \( \sigma \) eingetreten ist, dann muss es doch automatisch vor oder zum Zeitpunkt \( \tau \) eingetreten sein, weil \( \sigma \leq \tau \) und somit muss A auch in \( \{ \tau \leq n \} \) liegen oder nicht? Was ist hier mein Denkfehler?

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Darum geht es aber nicht, denn dein Ereignis muss nicht vor \(\tau\) eingetreten sein, sondern vor \(n\). Aus \(\sigma \leq \tau\) folgt nicht, dass \(\tau \leq n\). Aus \(\tau \leq n\) folgt wegen \(\sigma\leq \tau\) aber definitiv \(\sigma\leq n\).