Wie kann ich Konvergenz zeigen einer Sequenz?

Question

Aufgabe:

Zeige Konvergenz einer Sequenz

Problem/Ansatz:

Gegeben sei die Sequenz \(x_{i+1} = x_i - 1 + \frac{a}{e^{x_i}}\)

Der Tipp:

Zeige wenn x_i ≤ ln(a) dann x_i+1 ≥ ln(a).
Zeige auch wenn x_i ≥ ln(a) dann gilt trotzdem x_i+1 ≥ ln(a)

Eigentlich interessiert mich nur die Lösung dieses Tipps, kriegs nicht hin...

Comments

Was soll dieses

(a/ex)

Sollte hinter das x nicht auch ein Index?

Arbeite bitte mit Hoch- und Tiefstellungen, damit deine Beiträge lesbar werden.

---

Was sind die ersten beiden Werte für \(x_0\) und \(x_1\) ?

---

Es gibt keine Anfangswerte für x0 oder x1

---

Deine Folge ist so nicht lesbar, siehe Kommentar von abakus. Verwende auch Klammern wo nötig.

---

Die Folge stellt offenbar die Newton-Rekursion zur Funktion f(x) = e^x-a dar.

---

Ich habe die Frage angepasst, sodass sie zu deiner Vermutung passt.

Answer 1

Ich würde einfach mal für xi ln(a) - h einsetzen um den ersten Teil zu zeigen.

Lasse dir das Folgende erst anzeigen, wenn du es selber probiert hast.

[spoiler]

$$x_{i+1} = (ln(a) - h) - 1 + \frac{a}{e^{ln(a) - h}} \newline x_{i+1} = (ln(a) - h) - 1 + \frac{a \cdot e^h}{e^{ln(a)}} \newline x_{i+1} = ln(a) - 1 + \underbrace{e^h - h}_{\ge 1}\newline x_{i+1} = ln(a) - 1 + 1 + k\newline x_{i+1} = \underbrace{ln(a) + k}_{\ge ln(a)}$$

Du solltest meine Abschätzung e^h - h ≥ 1 noch zeigen.

Weiterhin funktioniert das gleiche auch wenn h negativ ist du also quasi den Betrag von h addierst.

[/spoiler]