Lösungen ohne Platzhalter

Question

In einem Kommentar der Mathelounge wurde diese Woche folgende an Grundschüler gerichtete Aufgabe gestellt:

Eine Fahrschule hat auf ihrem Parkplatz 6 Fahrzeuge stehen. Die Autos haben 4 Räder, die Motorräder haben nur 2 Räder. Max zählt die Räder und kommt auf eine Anzahl von 20. Weißt du, wie viele Autos und Motorräder auf dem Parkplatz stehen?

Die Aufgabe wurde anschließend von Werner Salomon kindgemäß gelöst:

Wenn man nur die Hinterräder der Autos und jeweils beide Räder der Motorräder betrachtet (also 2 Räder pro Fahrzeug), kommt man auf 6⋅2=12 Räder. Dann bleiben 20−12=20-12=8 Räder übrig. Und diese 8 Räder können doch nur die Vorderräder der Autos sein!
Macht dann also 8÷2=4 Autos und somit 6−4=2 Motorräder.

Als Adam Riese 1574 sein Rechenbuch herausgab, um das Rechnen auch der Bevölkerung zugänglich zu machen, die nicht dem Adel oder dem Klerus angehörte, konnte er seine Zielgruppe nicht mit dem Konzept des Platzhalters konfrontieren. So musste er für die Lösung folgender Aufgabe ohne den heute naheliegenden Ansatz zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten auskommen:

Aufgabe:
21 Personen (Männer und Frauen) begleichen eine Zeche von 81 GE indem jeder Mann 5 GE und jede Frau 3 GE zahlt. Wie viele Männer und wie viele Frauen waren es?

Die von Riese vorgeschlagene Lösung entspricht dem Vorgehen eines pfiffigen heutigen Grundschülers, wie es von Werner Salomon beschrieben wurde:

Zunächst zahlt jede Person 3 GE. Dann fehlen 81 – 3ˑ21=18 GE am vollen Rechnungsbetrag. Dieser Rest wird aufgefüllt, indem jeder Mann 2 GE zahlt, die er bisher zu wenig entrichtet hat. Also sind es 18:2=9 Männer und 21 – 9 = 12 Frauen.

Comments

Ich bin mir hundertprozentig sicher, dass der Ostdeutsche Adam Ries aus Annaberg niemals die grausame Alt-BRD-"Fachsprache"

GE

verwendet hat. Sogar beim hiesigen Adam-Ries-Wettbewerb für Fünftklässler mutet man den Teilnehmern zu, mit Geldeinheiten wie "fl" (Gulden) , Kreuzer und Heller klarzukommen.

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Die von Riese vorgeschlagene Lösung entspricht dem Vorgehen eines pfiffigen heutigen Grundschülers, wie es von Werner Salomon beschrieben wurde:

Wieviel von 100 sind im Schnitt so pfiffig?

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Die Zahl ist vermutlich rein imaginär, also \( \sqrt{-1}\). Wenn man etwas optimistischer ist und abrundet, kommt man auf 0.

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@abakus: Selbstverständlich hat Adam Ries nicht GE benutzt. Sowohl die Aufgabe als auch die Lösung hat Riese mit ganz anderen Worten aufgeschrieben. Hätte ich Riese wörtlich zitieren sollen?

@simple mind: Erfahrungsgemäß sind 3 von 100  im Schnitt so pfiffig (einer pro Klasse). Aber auch dem sollte man die Gelegenheit zur selbständigen Lösung geben und nicht mit dem Verweis auf Seltenheit verbauen.

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Erfahrungsgemäß sind 3 von 100  im Schnitt so pfiffig (einer pro Klasse).

d.h. ein potentieller Gauss pro Klasse. Zusatzfrage: Was für Schüler sind das? Streber, aus entsprechenden Elternhäusern, mit Grundfreude an Mathematik oder ...?

Ich kann es mir in diesem Fall bei Grundschülern kaum vorstellen, wenn sie sich nicht auch außerhalb der Schule mit Mathe beschäftigen. Oder haben sie einfach eine bestimmte Art von Fantasie oder besondere Gehirnstrukturen?

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Um die in meinem Artikel genannten Lösungswege zu finden, muss ein Grundschüler weder ein 'simlpe mind' noch ein potentieller Gauß sein.

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Das Problem ist: Wie kommt man auf die Idee ohne das Erfahrungswissen von jahrelanger Erfahrung? Diese Frage stellt sich immer wieder in allen möglichen Bereichen. Ohne Tipp haben die Meisten m.E. Probleme.

Woher kommen Ideen? Warum hat der eine sie, der andere nicht? Die psychologischen Aspekte halte ich für noch interessanter als diese Standardaufgabe, die man später sowieso per Gleichung löst, die man für solche Fälle gelernt hat.

Zunächst zahlt jede Person 3 GE. Dann fehlen 81 – 3ˑ21=18 GE am vollen Rechnungsbetrag.

Wie kommt ein Grundschüler auf diese Idee?

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Wie kommt ein Grundschüler auf diese Idee?

Wie oben gesagt von 100 sind das weniger als einer. Also quasi, die für die die Mathematik-Olympiade gedacht ist.

Deswegen war in meinem Mathebuch der 4. Klasse. Der Tipp über Probieren mithilfe einer Tabelle

Anzahl Autos	Anzahl Motorräder	Anzahl der Reifen
1	5	1 * 4 + 5 * 2 = 14
2	...	...
...	...	...
...	...	...
...	...	...

Das Ganze ist als Tipp gekennzeichnet. Kleine Einsteine können durchaus auch ihnen einfachere und offensichtlichere Lösungswege nutzen.

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Wie kommt ein Grundschüler auf die Idee "Zunächst zahlt jede Person 3 GE"?

Indem man solche Zahlungen praktisch durchführen lässt. Statte 21 Kinder einer Klasse mit Spielgeld aus und stelle ihnen die Aufgabe, 81 Spieltaler so zusammenzubringen, dass jeder gleichviel zahlt.

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Dir ist wohl nicht bewusst, dass Kinder kreativer sind als du denkst. Mit diesen ganzen Standard-Vorrechnungen werden sie dieser Fähigkeit aber immer weiter beraubt. Ein Erwachsener wird eine entsprechende Kreativität gar nicht mehr aufbringen können, eben aufgrund seiner Erfahrungen. Das solltest du bei deinen Aussagen bereits bemerken können. Du versuchst rational zu hinterfragen, wie man darauf kommt. Das tun Kinder nicht. Kinder können aber eben tüfteln und überlegen, ohne auf vorgefertigte Rechenwege zurückgreifen zu können und gerade das macht auch einen großen Teil der Mathematik aus.

Ich lehne mich mal sehr weit aus dem Fenster und wage zu behaupten, dass sich diese Fähigkeit heutzutage immer weiter zurückbildet aufgrund von Digitalisierung und den Einsatz von digitalen Geräten bereits im frühen Kindesalter. Der Konsum solcher Geräte ist höchst schädlich für die Entwicklung der Kinder.

Man braucht also keine Erfahrungen, um Ideen zu entwickeln. Sie können helfen, um komplexere Ideen zu entwickeln. Das berühmteste Beispiel ist an dieser Stelle wohl der kleine Gauß mit seiner Gaußschen Summenformel. Diese Idee ist an sich so genial, dass dies keiner großen Erfahrungswerte bedarf, man seine Idee aber auch auf viele anderen Dinge anwenden kann.

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Deswegen war in meinem Mathebuch der 4. Klasse. Der Tipp über Probieren mithilfe einer Tabelle

An einen Tipp dachte ich auch.

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Aufgabe für simple mind: Eine Gruppe von 10 Personen (Erwachsene und Kinder) zahlt insgesamt 110 € Eintritt. Dabei zahlt jeder Erwachsene 20 € und jedes Kind 5 €. Berechne ohne Verwendung von Variablen den Eintrittspreis für Erwachse und den Eintrittspreis für Kinder.

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Das Problem ist: Wie kommt man auf die Idee ohne das Erfahrungswissen von jahrelanger Erfahrung?

ich kann mich an eine konkrete Aufgabe aus meiner Grundschulzeit erinnern.

Franz und Fritz sind zusammen 20 Jahre alt. Fritz ist 2 Jahre älter als Franz. Wie alt sind die beiden.

Die "Standardantwort" in einer höheren Klassenstufe wäre ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Aber ich war damals erst 8 oder bestenfalls 9 Jahre alt (wg. früher Einschulung und den Kurzschuljahren) und ich wußte natürlich weder was eine Gleichung noch ein LGS ist.

Trotzdem konnte ich diese Aufgabe ohne Hilfe der Lehrerin lösen, indem ich mir das Alter der beiden als Länge von zwei Stöckchen vorstellte. In Gedanken legte ich sie einmal hintereinander (=20) und einmal nebeneinander (Differenz = 2). Also zog ich die 2 von der 20 ab und halbierte das Ergebnis. Das war dann das Alter von Franz.

Das "Erfahrungswissen" was dem wahrscheinlich zu Grunde lag, war die Tatsache, dass ich zu dieser Zeit bereits mit Holz gebastelt hatte. Sägen, Nageln und Messen(!) war mir nicht fremd.

Achso ... und Legos hatte ich auch schon; siehe z.B. auch:

https://www.mathelounge.de/852892

https://www.mathelounge.de/790013/aufgabe-summe-doppelten-einer-halfte-einer-anderen-zweite?show=790036#a790036

https://www.mathelounge.de/832804

wobei aber gerade der erste der drei Links einen Dialog mit einem Fragesteller zeigt, der sich das überhaupt nicht vorstellen kann, obwohl er anscheinend  die Oberstufe eines Gymnasiums besucht.

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Ich finde diese Entwicklung wirklich erschreckend. Kinder beschäftigen sich heutzutage eben mit ganz anderen Dingen als damals. Auch mir machte das Knobeln als Kind schon Spaß und ich kann mich noch erinnern, dass ich in der Grundschule unheimlich stolz war als ich herausgefunden habe, dass die Differenz benachbarter Quadratzahlen immer um 2 größer wird. Dabei ist das heute betrachtet sowas von banal.

Erst letzte Woche musste ich wieder feststellen, dass eine Schülerin der 9. Klasse gar keine Teilbarkeitsregeln kennt, weil es einfach nie im Unterricht gemacht wurde. Sie kann also keine Teilbarkeit durch 3, 6, etc. erkennen. Genauso können die heutigen Schüler fast nichts mit Primzahlen anfangen, so dass sie bei Siebtel oder Elftel immer noch nach gemeinsamen Teilern zum Kürzen suchen. Ich weiß noch, dass mir diese Dinge bereits in der Grundschule unterkamen und wir uns mit dem Sieb des Eratosthenes befasst. Nur bis 100. Ich fand es aber so spannend, dass ich mir das mal bis 1000 aufgeschrieben hatte. Wer würde sowas denn heute noch von sich aus machen bzw. so etwas überhaupt spannend und interessant finden? TikTok und Instagram sind viel interessanter!

Erschreckend ist auch, dass Schüler heutzutage nicht wissen, was ein 32 Blatt Skatspiel ist. Das wird ja gerne im Bereich der Stochastik verwendet, um den Wahrscheinlichkeitsbegriff einzuüben. Es wird eben kein Kartenspiel mehr gespielt.

Es sind so viele kleine Dinge, aber in Summe ist das eine wirklich schlechte Entwicklung.

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Genauso können die heutigen Schüler fast nichts mit Primzahlen anfangen,

Dann müssen die heutigen Lehrer es ihnen eben beibringen.

Erschreckend ist auch, dass Schüler heutzutage nicht wissen, was ein 32 Blatt Skatspiel ist.

Da von wo ich herkomme hat es 36 Blatt. Die meisten wissen auch nicht, was ein Kohlebrikett, eine Anlasskurbel oder eine Elektronenröhre ist. Ich finde das nicht erschreckend. Obwohl es suggeriert, ich sei nicht mehr besonders jung.

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Erst letzte Woche musste ich wieder feststellen, dass eine Schülerin der 9. Klasse gar keine Teilbarkeitsregeln kennt, weil es einfach nie im Unterricht gemacht wurde. Sie kann also keine Teilbarkeit durch 3, 6, etc. erkennen. Genauso können die heutigen Schüler fast nichts mit Primzahlen anfangen, so dass sie bei Siebtel oder Elftel immer noch nach gemeinsamen Teilern zum Kürzen suchen.

Grundsätzlich sollte das Thema Teilbarkeit, einschließlich der Primzahlen, im Lehrplan eures Bundeslandes verankert sein. Informiere dich darüber. In Hamburg ist die Teilbarkeit in den Klassenstufen 5 und 6 vorgesehen. Wenn es im Lehrplan steht, wird es mit Sicherheit auch im Schulbuch behandelt, da diese auf Grundlage der Lehrpläne erstellt werden.

Es gibt jedoch Schulen, die kein Schulbuch als Grundlage für den Unterricht verwenden, sondern zu Beginn jeder Stunde eine Vielzahl von Kopien an die Schüler austeilen. Ein kleiner Tipp für die Eltern: Vermeiden Sie die Anmeldung an einer Schule, an der Mathematik ausschließlich über ausgeteilte Zettel unterrichtet wird.

Darüber hinaus gibt es Lehrer, die Abstriche machen, weil sie es nicht schaffen, alle 200 Seiten eines Schulbuchs in einem Jahr zu behandeln. In Zeiten von Corona trat dieses Problem in Hamburg leider häufiger auf.

Ein kleiner Hinweis für Eltern und Schüler: Im Vordergrund stehen die Inhalte, die der Lehrer im Unterricht vermittelt. Es ist jedoch unerlässlich, sich auch mit allen Themenbereichen des Rahmenlehrplans zumindest grundlegend vertraut zu machen. Es schadet nicht, auch mal im Schulbuch zu lesen, selbst wenn es keine explizite Hausaufgabe war.

Ein erfahrener Nachhilfelehrer wie du wird sicher genau analysieren, warum die Schülerin die Grundlagen der Teilbarkeit nicht kennt. Möglicherweise gab es damals zu viele krankheitsbedingte Fehlstunden. Auf jeden Fall sind die Regeln zur Teilbarkeit kein unüberwindbares Hindernis und können glücklicherweise innerhalb weniger Stunden neu erlernt oder aufgefrischt werden.

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Aufgabe für simple mind: Eine Gruppe von 10 Personen (Erwachsene und Kinder) zahlt insgesamt 110 € Eintritt. Dabei zahlt jeder Erwachsene 20 € und jedes Kind 5 €.

Diese Aufgabe habe ich in ca. 2 Minuten im Kopf gelöst. Es sind 4 Erwachsene und 6 Kinder.

Meine Aufgabe für dich:

Auf einem Großparkplatz stehen 1851 Fahrzeuge (nur Autos und Motorräder).Man zählt 6510 Rädern. Wie ist die Verteilung? Ohne Gleichungssystem bitte!

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Denkanstoß :

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Auf einem Großparkplatz stehen 1851 Fahrzeuge (nur Autos und Motorräder).Man zählt 6510 Rädern. Wie ist die Verteilung? Ohne Gleichungssystem bitte!

Wenn es nur Autos wären, hätten sie 7404 Räder.

Um 7404-6510=894 Räder einzusparen, muss man 894:2=447 vierrädrige Autos durch zweirädrige Motorräder ersetzen.

Es sind also 447 Motorräder und 1404 Autos.

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Beachte "Großparkplatz". Es sind exakt 1500 Motorräder und 351 von demda: