Hallo.
Nachdem man mich zu Unrecht gesperrt hat und mir einiges unwahres vorgeworfen hat, bin ich ja wenn man es gestattet, jetzt wieder anwesend um zu helfen.
Nun zur Sache:
1) Definition
Sei n ∈ |N und f: K —> |R eine differenzierbare Funktion mit K ⊂ |R^n. Dann ist das
absolute Maximum von f, definiert als
max{f(x) : x ∈ K} ∈ f(|R) ⊂ |R
(falls es natürlich existiert)
absolute Minimum von f, definiert als
min{f(x) : x ∈ K} ∈ f(|R) ⊂ |R
(falls es natürlich existiert)
Diese Zahlen max{f(x) : x ∈ K}, min{f(x) : x ∈ K} nennt man dann die absoluten Extrema von f. Dabei ist max{f(x) : x ∈ K} das absolute Maximum von f und die Zahl min{f(x) : x ∈ K} das absolute Minimum von f.
Das Extremum max{f(x) : x ∈ K}, also in dem Falle das Maximum, kann ja nur dann existieren, falls es ein a ∈ K gibt, sodass dann f(x) ≤ f(a) für alle x ∈ K gibt, denn dann schreiben wir f(a) = max{f(x) : x ∈ K}. Dieses a welches das erfüllt, nennt man dann absolute Extremstelle von f.
Der absolute Extrempunkt von f ist dann das Paar (a,f(a)) ∈ |R^(n+1), wobei hier a die Extremstelle und f(a) das Extremum von f ist.
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Lokale Extrema sind seperat zu betrachten, da gilt eben falls a ein lokaler Extrempunkt ist, die Ungleichheit f(x) ≤ f(a) oder f(a) ≤ f(x) für alle x ∈ T, wobei T eine echte Teilmenge von K ist.
2) Beispiele.
I) Beispiel einer Funktion ohne jegliche Extrema : Gegeben sei die Hyperbel-Funktion
f : K := (0,inf) —> |R, f(x) := 1/x mit n = 1.
Es ist leicht zu sehen, das max{f(x) : x > 0} nicht existieren kann, da der Term 1/x für x —> 0, unendlich wächst. Also hat die Funktion kein Maximum. Genauso existiert nicht das Minimum von f, also min{f(x) : x > 0}, denn für x —> inf, geht der Ausdruck 1/x gegen 0, aber wird eben für kein endliches x > 0 jemals 0. Demnach wird es sich immer für wachsende x an die 0 annähern, wird diese aber für kein endliches x > 0 erreichen. Also gibt es vorallem auch keine Zahl c > 0, welches das Minimum sein kann, also f(x) > c für alle x > 0 erfült, da 1/x ja immer näher an die 0 geht und damit für jede positive p > 0 es ein x > 0 gibt, sodass 0 < 1/x < p gilt.
II) Ein weiteres Beispiel, um nochmal lokale und absolute Extrema unterscheiden zu können.
Sei f : K := |R —> |R mit n = 1 gegeben als die Polynomfunktion f(x) := x^4 - 2x^2.
Die Funktion hat zwei absolute Minimalstellen, einmal bei x = -1 und dann auch bei x = 1, denn es gilt für alle x ∈ |R, f(-1) = f(1) ≤ f(x). Wir schreiben für das absolute Minimum von f :
max{f(x) : x ∈ K} = f(-1) = f(1) = -1
Dann hat die Funktion auch ein lokales Maximum an der Stelle x = 0. Dieses ist aber lokal und nicht absolut wie das Minimum. Es gilt also nur für alle x ∈ [-sqrt(2),sqrt(2)] die Ungleichheit 0 = f(0) ≥ f(x). Wir schreiben:
max{f(x) : x ∈ [-sqrt(2),sqrt(2)]} = f(0) = 0.
