Zusammenhang zwischen Nullpunkt, Extrempunkt, Wendepunkt und Sattelpunkt

Question

ich verzweifle momentan an dieser Textaufgabe:

Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion f” einer Funktion f (Fig. 2). Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.

a) Der Graph von f ist im Bereich –0,3 < x < 2 rechtsgekrümmt. 
b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt. 

c) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0,8 sein Krümmungsverhalten.

 

Ich habe zwar die Lösungen dafür, jedoch verstehe ich sie nicht bzw. kann den Zusammenfang nicht erkennen:

a) Falsch. Für -0,5 < x < 2 nimmt f"(x) sowohl Werte größer als auch kleiner null an.

b) Falsch. f'(0) muss nicht null sein, das ist aber Voraussetzung für einen Sattelpunkt.

c) Falsch. f" hat an der Stelle x=0,8 ein Maximum, f' hat somit an diser Stelle eine Nullstelle, f ändern sein Krümungsverhalten nicht.

 

Kann mir bitte jemand das ausführlich erklären, wie ich diese Textaufgabe lösen muss bzw. wie ich vorgehen müsste? Wir haben für solche Aufgaben diese Eselsbrücke(kann leider damit auch nichts anfangen):

      Nullpunkt  Extrempunkt  Wendestelle

f'(x)                  Nullpunkt       Extrempunkt   Wendestelle           

f"(x)                                        Nullpunkt        Extrempunkt Wendestelle

 

PS: Es soll nicht rechnerich gelöst werden.

Answer 1

Hallo bneou! :-)

Am Graphen der zweiten Ableitungsfunktion können wir folgendes sehen:

Die Bereiche, die sich unterhalb der x-Achse befinden sind negativ, das bedeutet, dass die Funktion f in diesen Bereiche rechtsgekrümmt ist.

Die Bereiche oberhalb der y-Achse sind positiv, in diesen Bereiche ist die Funktion f linksgegrümmt.

Die x-Achse wird an drei Stellen geschnitten, d.h. dort ist f'' = 0. Diese drei Stellen sind Kandidaten für Wendepunkte. An diesen Stellen ist jeweils die Steigung von f'' ≠ 0, das bedeutet also, dass dort f''' ≠ 0 ist, diese drei Stellen sind also Wendepunkte.

Damit lassen sich die drei Fragen beantworten.

a) Der Graph von f ist im Bereich –0,3 < x < 2 rechtsgekrümmt. 

Das ist falsch. In diesem Bereich ist f'' teilweise negativ und teilweise positiv.
Nämlich negativ und damit rechtsgekrümmt im Bereich -0,3 < x < 0 und positiv und linksgekrümmt im Bereich 0 < x < 2.

b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt.

Wir wissen bereits, dass an der Stelle x = 0 ein Wendepunkt ist. Wäre es auch ein Sattelpunkt,
müsste dort f'(0) = 0 gelten. Die Behauptung, dass an der Stelle x = 0 ein Sattelpunkt ist kann also wahr
oder falsch sein, das können wir aber nicht entscheiden.


c) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0,8 sein Krümmungsverhalten.

Die Aussage ist falsch. An der Stelle x = 0,8 ist die zweite Ableitung positiv, der Graph von f ist dort also nach rechts gekrümmt.


Beste Grüße
gorgar

Answer 2

Was sehe ich :

Rechtskrümmung von f von x = -∞ bis 0
0 Wendepunkt
ab 0 bis 2 Linkskrümmung
2 Wendepunkt
2 bis 4 Rechtskrümmung
4 Wendepunkt
4 bis ∞  Linkskrümmung

Hier die Funktion
f ´´ blau
f rot ( eine mögtliche Funktion )

Ein Wendepunkt muß nicht unbedingt
ein Sattelpunkt sein.

Comments

ich verstehe zwar dein Graph, aber ich weiß leider immer noch nicht wie ich diese Aufgabe alleine lösen muss bzw. die Fragen beantworten muss. Vor allem das Ganze zu begründen, warum es falsch/richtig ist..

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hallo bneou,

a) Der Graph von f ist im Bereich –0,3 < x < 2 rechtsgekrümmt. 

Zwischen -0.3 und 2 ist sowohl Links- und Rechts-krümmung vorhanden. Die Aussage ist falsch.

b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt.

Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 einen
Wendepunkt. Dieser Wendepunkt kann auch
ein Sattelpunkt sein.
Die Aussage ist daher falsch.

c) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0,8 sein Krümmungsverhalten.

Die Kümmung ist im Bereich stets positiv also
rechtsgekrümmt.
Ein Krümmungswechsel findet nicht statt.
Die Aussage ist falsch.

Soweit meine Einschätzung.