Wendepunkt oder Sattelpunkt?! x^4+2x^3-2

Question

Also ich habe folgende Funktion:

F(x)= x^4+2x^3-2 und soll Extrema und Wendepunkt bestimmen,

Extrema habe ich schon berechnet also der lokale Tiefpunkt liegt bei (-1,5|-3,69) und ich dachte jetzt auf Punkt (0|2) liegt ein Sattelpunkt

Jetzt bin ich aber verwirrt, da dieser meinen Rechnungen zu Folge ein Wendepunkt ist? Oder was habe ich falsch berechnet? Also meine Rechnungen zum Wendepunkt:

1) Notwendige Bedingung: f''(x)= 0

12x^2 + 12x = 0

X1= 0

X2 = -1

2) Hinreichende Bedingung: f'''(x) ungleich 0

24x+12

f'''(0) = 12

f'''(-1)= -12

Also sogar 2 Wendepunkte? Aber auf dem Punkt x= 0 habe ich doch schon ein Sattelpunkt? Ich bin extrem verwirrt ..

Bitte mit Rechnungen verbessern, danke für die Hilfe.

Answer 1

f(x) = x^4 + 2·x^3 - 2

f'(x) = 4·x^3 + 6·x^2

f''(x) = 12·x^2 + 12·x

Extrempunkte f'(x) = 0

4·x^3 + 6·x^2 = 2·x^2·(2·x + 3) = 0

x = 0 (d.N. daher kein Extrempunkt sondern Sattelpunkt)

x = -1.5 (Nullstelle von - nach + und daher Tiefpunkt)

Y-Koordinaten selber berechnen

Wendepunkt f''(x) = 0

12·x^2 + 12·x = 12·x·(x + 1) = 0

x = 0 und x = -1

Beides sind einfache Nullstellen und damit beides Wendepunkte.

Auch hier die Y-Koordinaten selber berechnen.

Dann eine Skizze machen und die Ergebnisse verifizieren.

Answer 2

Punkte mit waagerechter Tangente
x = -1.5  x = 0
Wendepunkte
x = -1  x = 0

Der Punkt bei x = 0 hat eine waagerechte Tangente und ist ein Wendepunkt.
Er ist ein Sattelpunkt.
( Die Definition stimmt nicht haargenau. Es gibt auch noch Flachpunkte )

~plot~ x^4  + 2 * x^3 - 2 ~plot~