Extrempunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt

Question

Ich wollte einmal fragen was genau der Unterschied zwischen einem Extrempunkt und einer extremstelle ist? Kann es nur maximal 2 geben? Also einen Tiefpunkt und/oder einen hochpunkt? Wie kann ich den berechnen? Und wie erkenne ich an dem Graphen was nun einer ist und was nicht?

Dieselben Fragen habe ich dann nochmal zum Wende- und Sattelpunkt. Kann ich die schon beim sehen eines Graphen erkennen? Wie rechne ich sie aus? Wie viele kann es geben?

Als letztes wollte ich die Unterschiede der drei wissen.

Danke schonmal:)

Answer 1

was genau der Unterschied zwischen einem Extrempunkt und einer extremstelle ist?

Ein Punkt besteht aus einer x-Kooordinate und einer y-Koordinate.

Eine Stelle ist die x-Koordinate eines Punktes.

Beispiel. f(x) = 2(x-3)²+5. Diese Funktion hat genau einen Extrempunkt. Dieser liegt bei (3 | 5). Die Extremstelle ist 3.

Kann es nur maximal 2 geben?

Nein. Es kann unendlich viele Extrempunkte geben. Zum Beispiel hat die Funktion cos(x) Extrempunkte bei (2πz | 1) und bei (π + 2πz | -1) für jede ganze Zahl z.

Bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades, also Funktionen der Form

        f(x) = ax³ + bx² +cx + d

gibt es aber entweder

• keinen Extrempunkt, oder 
• genau zwei Extrempunkte (einen Hoch- und einen Tiefpunkt).

Allgemein hat eine ganzrationale Funktion vom Grad n

• höchstens n Nullstellen,
• höchstens n-1 Extremstellen,
• höchstens n-2 Wendestellen.
  

Wie kann ich den berechnen?

Berechne die Nullstellen der Ableitung. Das sind dann Kandidaten für Extremstellen. Setze diese Kandidaten in die zweite Ableitung ein.

• f''(x₀) < 0: an der Stelle x₀ hat die Funktion einen Hochpunkt
• f''(x₀) > 0: an der Stelle x₀ hat die Funktion einen Tiefpunkt
• f''(x₀) = 0: verwende das Vorzeichenwechelkriterium um zu entscheiden, ob es sich um eine Extremstelle handelt.
  

Dieselben Fragen habe ich dann nochmal zum Wende- und Sattelpunkt.

Wendepunkte sind Extrempunkte der Ableitung. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit horizopntaler Tangente (also wo Ableitung = 0 ist.)

Kann ich die schon beim sehen eines Graphen erkennen?

Der Graph ändert sein Krümmungsverhalten. Das heißt er geht von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über, oder von einer Links- in eine Rechtskrümmung. Anders formuliert sind das auch die Punkte, an denen die Stiegung möglichst groß oder möglichst klein ist.

Wie viele kann es geben?

Unendlich viele. Bei ganzrationalen Funktionen  gibt es aber maximal zwei weniger als der Grad (d.h. eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat maximal einen Wendepunkt)

Comments

Danke für die Antwort, wissen Sie auch über die anderen fragen Bescheid?

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Habe ich gerade germacht.

Answer 2

wenn von einer Stelle die Rede ist, meint man konkret den x-Wert. Und den Extrempunkt hat man dann mit einer x- und y-Koordinate. Wie viele es davon gibt, hängt ganz von deiner Funktion ab. Bei Hochpunkten liegt eine Rechtskrümmung und bei Tiefpunkten eine Linkskrümmung vor. Außerdem ist die Steigung bei Extrempunkten Null, was man in der Skizze dann erkennt. Extremstellen berechnest du mithilfe der ersten Ableitung, indem du die Nullstellen berechnest. Du willst ja die Stellen wissen, wo die Steigung Null ist. Mit der zweiten Ableitung prüfst du, ob die Stellen Kandidaten für Extrempunkte sind. Das ist dann der Fall, wenn f''(x_0)≠0 gilt:

f''(x_0)<0 bedeutet Kandidat für Hochpunkt und f''(x_0)>0 bedeutet Kandidat für Tiefpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall von einem Wendepunkt. Es ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null. Für die Wendestellen brauchst du die zweite Ableitung und berechnest ihre Nullstellen. Und dann setzt du diese in die dritte Ableitung ein. Gilt f'''(x_w)≠0, ist x_w ein Kandidat für ein Wendepunkt: f'''(x_w)>0 bedeutet Kandidat für Rechtslinkswendepunkt und f'''(x_w)<0 bedeutet Kandidat für Linksrechtswendepunkt.

Answer 3

  Ich sage immer: Es gibt keine notwendigen Bedingungen. Nur hinreichende.

"  Eine gerade Nullstelle ist immer ein ( lokales ) Extremum; ob Minimum oder Maximum, erkennst du ( wie üblich ) an dem Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden Ableitung. "

     Z.B. y  =  x  ^  4 712   hat bei x = 0 ein Minimum  (  4 712 ist gerade. )

      Aber auch y =  ( x - 1 )  ^  4 712  (  x  -  3  )   ^  5

      hat ein Extremum bei x = 1 . 

     ( Ich könnte dir übrigens vorrechnen ===> binomischer Lehrsatz  ===>  Leibnizregel )  wie man jene 4 712. Ableitung bestimmt, ohne vorher die 4 711. zu kennen. )

     Weiter im Text;   eine   ( mehrfache ) ungerade Nullstelle ist stets ein ===>  Terrassenpunkt  (  TP  )

    Im Internet gibt's schon schlaue Leute; die wissen nämlich,  was noch nicht mal jeder Hochschulprof kapiert. Dass ein TP etwas total andreas ist als der von dir beschworene ===> Sattelpunkt ( SP )   Ein Sattel ist immer eine mindestens ZWEIdimensionale Fläche ( obwohl es sie auch in der 4. Dimension gibt )

     Ein Sattel besitzt immer in einer Richtung ein Maximum und in einer anderen ein Minimum ( Dazu muss es also erstmal mindestens zwei Richtungen geben. )

    Und damit stellt sich heraus: Ein  SP ist ein  VERALLGEMEINERTES  EXTREMUM .

   Als Schüler hast du mit SP erst mal nix am Hut ( so lange du kein Streber bist, der sich für ===> Gradienten und ===> Hessematrix begeistert. )

   Aber mal was andreas; weil ich von den hinreichenden Bedingungen sprach. Eine Funktion, die auf einem Intervall überall f ' ( x ) > 0 hat, ist streng monoton wachsend: das weißt du. gilt auch die Umkehrung? Nur ===>  fast überall .

    Jede differenzierbare Funktion ist stetig; auch das weißt du. Gilt hier die Umkehrung?

    Da gibt es Funktionen, die sind so abgedreht. Selbst Matematiker wollen mit denen nix zu tun haben und bezeichnen sie deshalb als " patologisch "

    Die ===>  Kochsche Schneeflockenkurve  stand sogar schon mal in der PC Zeitschrift. Ein ===> Fraktal, das du elementar konstruieren kannst, die Kochkurve zeichnet sich dadurch aus, dass sie auf ganz |R stetig ist und in keinem einzigen Punkt differenzierbar ....

    Und jetzt denk bitte logisch. Du fragtest

    " Wie viel ( lokale ) Extremata gibt es? "

      wir sagten: Jede monotone Funktion ist f.ü. differenzierbar.

    Die Kochkurve ist aber NIRGENDS  differenzierbar.

    Demnach verläuft sie auf KEINEM NOCH SO KLEINEN INTERVALL  monoton;  ihre Extrema liegen ===>  dicht.

     Nicht einmal teoretisch kannst du hoffen, diese Extrema zu finden durch Null Setzen der Ableitung.

     Weil sie ja  KEINE ABLEITUNG HAT .

     Diese Bedingung ist nur hinreichend; nicht notwendig.

   Habichdochgesagthabichdochgesagthabichdochgesagt   ...